26 апреля 2010

Десятибуквенное самоописывающее числительное

Оказывается, во многих языках мира есть числительные, количество букв в которых совпадает с выражаемым числом. В русском языке таковыми являются три и одиннадцать. В блоге о занимательной математике только самоописывающими числительными досчитали от 1 до 9 и от 11 до 18.

Однако не удалось найти, есть ли в каком-то языке числительное 10, состоящее из десяти букв (При этом фраза "десять букв" более чем в десяти языках записывается десятью буквами).

Вот и новая задача конкурса (срок подачи ответов неограничен): в каком языке числительное 10 выражается словом ровно из десяти букв?

16 апреля 2010

Решения задач 6

Задача 19.

Обозначим





При этом
  , а .
Так что
 

Сравним
















Ответ: первое выражение больше.

Задача 20
Общий вид треугольных чисел: .

Т.к. оно должно быть квадратом, имеем диофантово уравнение:



Решим его как квадратное относительно n:
Дискриминант должен быть полным квадратом, так что имеем новое уравнение, на этот раз без первых степеней:



Такое диофантово уравнение называется уравнением Пелля. Очевидны его решения k=1, m=0 и k=3, m=1. Кроме того, треугольно-квадратным, как было сказано в условии, является число 36, поэтому имеем: m=6 и k=17.

Решения уравнения Пелля подчиняются рекуррентному соотношению, в данном случае это будет
  и .

Следующее m будет равно 6*6-1=35 и

Ответ: Таких чисел будет бесконечно много, а следующее – 1225.

Задача 21.
Прибавим и отнимем




Задача 22.
Остатки при делении на 7 будут имеют период длины 3 и равны: (1, 2, 4). Остатки при делении на 7 имеют период длины 7 и равны (0, 1, 4, 2, 2, 4, 1).

Чтобы разность делилась на 7 необходимо, чтобы эти остатки были равны. Это приводит нас к уравнениям:

а) n=3m=7k+1
n=21t+15

б) n=3m=7k+6
n=21t+6

в) n=3m+1=7k+3
n=21t+10

г) n=3m+1=7k+4
n=21t+4

д) n=3m+2=7k+2
n=21t+2

е) n=3m+2=7k+5
n=21t+5

Итак, число n должно давать остаток 2, 4, 5, 6, 10 или 15 при делении на 21.
До 10000 групп по 21 числу будет 476, что даёт нам 2856 решений. А т.к. 10000 даёт остаток 4 при делении на 21, то будет ещё два решения, соответствующие остаткам 2 и 4.

Ответ: 2858

Призовые баллы получают:
Alexisto: +12
Alexalkin (nazva.net): +11
Сергей Кузнецов: +5
Наталия Макарова: +5

10 апреля 2010

Вторая открытая Интернет-олимпиада по математике

Приглашаем принять участие во второй открытой Интернет-олимпиаде по математике! Вас опять ожидают 7 нестандартных задач, оценивающихся по 7 баллов каждая.

Решения задач присылайте по адресу: intelmath@narod.ru. Приветствуется сопровождение решения Вашими комментариями относительно интереса задачи и её сложности.

Подведение итогов олимпиады состоится во вторник, 18 мая.

Условия задач олимпиады по математике

06 апреля 2010

Математический аукцион 2: числа Смита

Итак, в первом математическом аукционе мы дошли до 56 цифр в числе, но всё ещё далеко находимся от теоретического потолка в 78 знаков.

Тем временем Наталия Макарова, исследователь и автор магических квадратов предложила тему для нового аукциона.

Требуется найти арифметическую прогрессию из чисел Смита, состоящую из как можно большего количества членов.

Числами Смита называются числа, у которых сумма цифр равна сумме цифр всех простых сомножителей.
Например, в числе 627=3х11х19 сумма цифр равна 6+2+7=15, что равно сумме цифр всех простых сомножителей: 3+1+1+1+9=15

Разность арифметической прогрессии может быть любая (разумеется, отличная от нуля, а также не равная единице, потому что для разности равной единице - это уже другая задача - поиск смитов-близнецов).

Первая ставка - прогрессия длины 5 (из 5 членов), эту прогрессию нашла сама Наталия с помощью своей программы:

627, 636, 645, 654, 663

Кто больше?

05 апреля 2010

Выбор функции для нейросети

В ходе обсуждения клеточного автомата "Жизнь бактерий" была предложена задача. Требуется придумать функцию y(x),определённую для x>0 и принимающей значения из промежутка [0,1].

Функции такого вида используются при конструировании нейронных сетей.
Вот некоторые примеры:










Присылайте свои варианты в комментарии

02 апреля 2010

Решения задач 5

Задача 16
Перебор даёт множество таких четвёрок, к примеру, 2, 3, 4, 5 или 1758, 1759, 1760, 7161

Задача 17
Поскольку и 3+10+15=28, то тройка (3, 10, 15) будет решением исходного уравнения.

Задача 18
AlexAlkin (nazva.net) предлагает следующее решение:

Пошагово будем отнимать общие целые части дробей слева и соответственно справа от искомой дроби. После дроби переворачиваем и процедуру повторяем.
Итак





























Здесь слева число, большее единицы, а справа – меньшее.
Единственным натуральным числом между числами и будет число 1.

Тогда будет иметь место система уравнений:
41m - 71n = 1
26n - 15m = 1
которая даст нам искомые m=97 n=56 и соответственно дробь с наименьшим знаменателем удовлетворяющая условию

Призовые баллы получают:

Николай (smekalka.pp.ru) - 5
sek140675 (nazva.net) - 5
Семён Знаковян (*ALEX ALKIN*, nazva.net) – 8
Alexisto - 9