Интересные задачи по математике: Решения задач 5

02 апреля 2010

Решения задач 5

Задача 16
Перебор даёт множество таких четвёрок, к примеру, 2, 3, 4, 5 или 1758, 1759, 1760, 7161

Задача 17
Поскольку $\frac{1}{3} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15}=\frac{1}{2}$ и 3+10+15=28, то тройка (3, 10, 15) будет решением исходного уравнения.

Задача 18
AlexAlkin (nazva.net) предлагает следующее решение:

Пошагово будем отнимать общие целые части дробей слева и соответственно справа от искомой дроби. После дроби переворачиваем и процедуру повторяем.
Итак

$\frac{220}{127} } > \frac{ m}{n } > \frac{ \sqrt{3} }$

$\frac{93}{127 } > \frac{ m-n}{n } > \sqrt{3}-1$

$\frac{127}{93 } < \frac{ n}{m-n } < \frac{ 1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2 }$

$\frac{34}{93 } < \frac{n-m + n}{m-n} = \frac{ 2n-m}{m-n } < \frac{ \sqrt{3}-1}{2 }$

$\frac{93}{34 } > \frac{ m-n}{2n-m } > \frac{ 2}{\sqrt{3}-1} = \sqrt{3} + 1$

$\frac{25}{34 } > \frac{ 3m-5n}{2n-m } > \sqrt{3}-1$

$\frac{34}{25 } < \frac{ 2n-m}{3m-5n} < \frac{ 1}{\sqrt{3}-1} =\frac{\sqrt{3} + 1}{2 }$

$\frac{9}{25 } < \frac{ 7n-4m}{3m-5n } < \frac{ \sqrt{3}-1}{2 }$

$\frac{25}{9 } > \frac{ 3m-5n}{7n-4m } >\sqrt{3} + 1$

$\frac{7}{9 } > \frac{ 11m-19n}{7n-4m } > \sqrt{3}-1$

$\frac{9}{7 } < \frac{7n-4m}{11m-19n } < \frac{\sqrt{3} + 1}{2 }$

$\frac{2}{7 } < \frac{26n-15m}{11m-19n } < \frac{ \sqrt{3}-1}{2 }$

$\frac{7}{2 } > \frac{ 11m-19n}{26n-15m} > \sqrt{3} + 1$

$\frac{3}{2 } > \frac{ 41m-71n}{26n-15m } >\sqrt{3}-1$

Здесь слева число, большее единицы, а справа – меньшее.
Единственным натуральным числом между числами $\frac{3}{2 }$ и $\sqrt{3}-1$ будет число 1.

Тогда будет иметь место система уравнений:
41m - 71n = 1
26n - 15m = 1
которая даст нам искомые m=97 n=56 и соответственно дробь с наименьшим знаменателем удовлетворяющая условию $\frac{97}{56}$

Призовые баллы получают:

Николай (smekalka.pp.ru) - 5
sek140675 (nazva.net) - 5
Семён Знаковян (*ALEX ALKIN*, nazva.net) – 8
Alexisto - 9

Интересные задачи по математике

Полезные игры и приложения для Android

02 апреля 2010

Решения задач 5

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Добавить в закладки

Тематика:

Архив блога