О конкурсе

Среди отзывов участников первой открытой интернет-олимпиады сайта приходили предложения сделать математические конкурсы регулярными. Поэтому был создан данный блог.

Каждую неделю здесь будут появляться новые задачи по математике и открываться ответы на предыдущие. Возможны также задачи исследовательского характера с продлённым временем на решение.

Среди участников будет вестись рейтинг, обновляемый ежемесячно. Решение задачи приносит 3 балла, а предоставление задачи для конкурса  - 5 баллов. Присылайте свои задачи по адресу intelmath@narod.ru или как комментарии к этому посту. 

Условия задач 6

Задача 19
Сравните

и
 .

Задача 20
Существуют ли числа, большие числа 36, являющиеся одновременно квадратами и треугольными?

Задача 21
Разложите многочлен x⁴+1 на множители с действительными коэффициентами

Задача 22
Сколько существует натуральных чисел n меньших 10000, для которых 2ⁿ-n² делится на 7,

Задачу 19 прислал Семён Знаковян, Задачу 20 – Сергей Кузнецов, Задачу 22 - Наталия Макарова

Решения принимаются, как минимум, до 20:00 14 апреля

Решения задач 4

Задача 11.

Минимальное из чисел будет иметь наибольшее значение, если числа будут минимально различаться между собой.

Сумма десяти последовательных чисел равна

n+n+1+n+2+n+3+n+4+n+5+n+6+n+7+n+8+n+9=10n+45=2010

Но 2010 мы не сможем получить в виде суммы десяти последовательных чисел, т.к. n в таком случае должно равняться 196,5

Максимальное целое n будет 196.

Тогда сумма 10 последовательных чисел составит 2005. Оставшуюся пятёрку, даже разбив на единицы, мы не сможем прибавить ни к одному из трёх минимальных чисел.

Сумма трёх минимальных 196 + 197 +198=591

Задача 12.

Т.к. число 105 можно разложить только на два нечётных множителя, то:

Чтобы первый множитель был нечётным, y должен быть нечётным.

Чтобы второй множитель был нечётным, x должен быть равен нулю

В уравнении (5y+1)(y+3)=105 чётным корнем будет число 4.

Ответ x=0, y=4

Задача 13.

Путём перебора можно найти решение, к примеру:

Для облегчения перебора можно искать числа (a,b,c) вида (zy²,xz²,yx²), т.е. решать Диофантово уравнение

x³+y³+z³=13xyz

Задача 14.

Сначала можно заметить, что общий член этой последовательности можно выразить как

Дальнейшим преобразованием, получим:

(100n²+10n-1)²=10000n⁴+100n²+1+2000n³-200n²-20n

10000n⁴+2000n³-100n²-20n+1 =20n(500n³+100n²-5n-1)+1=20n(100n²(5n+1)-(5n+1))+1=20n(100n²-1)(5n+1)+1=20n(10n-1)(10n+1)(5n+1)+1= (10n-1)10n(10n+1)(10n+2)+1

19*20*21*22+1 = 4192

29*30*31*32+1=9292

39*40*41*42+1=16392

И.т.д.

Задача 15. (решение от Disciple)

Выигрывает первый. Для этого ему стоит вначале скидывать в стопку карты номиналом 2(двойки). 

Если он будет играть двойками только один, то на это у него уйдет 4 хода. Второй за эти четыре хода скинет 4 карты. И четыре карты останутся на столе. Возможны 5 случаев:

1)Остались карты - 3 3 3 3. 

Значит сумма в стопке 12 (всего сумма 24, и 12 на столе). После следующего круга (очередного хода первого, а потом второго игрока) на столе останутся две тройки и сумма стопки будет 18. Первый кладёт еще одну 3 в стопку. Сумма стопки 21, и второй проигрывает.

2)Остались 3 3 3 1. Первый ходит единицей, второму приходится ходить тройкой. Остались две тройки и сумма стопки 18. Концовка аналогична 1)

3)Остались 3 3 1 1. Сумма стопки при этом 16 (на столе 8 очков). Первый ходит 3. Сумма стопки 19. Если второй сходит 3,то проиграет, поэтому вынужден ходить 1. Сумма стопки 20. Первый ходит 1. Сумма стопки 21. Второй проиграл. 

4)Остались 3 1 1 1. Сумма стопки 18. Первый ходит 3. Сумма стопки 21. Второй проиграл.

5)Остались 1 1 1 1. Сумма стопки 20. Первый ходит 1. сумма стопки 21. Второй проиграл.

Если же двойки кончились раньше 4 хода первого (Двойки скидывал не только он, но и второй игрок), то первый ходит, как захочет до тех пор, пока на столе не останется 4 карты. А так как на столе нет двоек, то это будет одна из 5 рассмотренных выше ситуаций, в которых Первый выиграет.

Призовые баллы получают:

Disciple (nazva.net): 6

Buka: nazva.net: 3

Aleksisto: 9 баллов

Николай:3

Семён Знаковян (*ALEX ALKIN*): 10

Вован (nazva.net): 10

Условия задач 5

Задача 16. Про простые числа. Берем 4 последовательных числа: 8, 9, 10, 11 и производим с ними следующие операции:

8*9 -1 =71

9*10-1=89

10*11-1=109

11*12-1=131

Результатами будут четыре простых числа.

Найдите ещё хотя бы одну четвёрку чисел с таким свойством.

Задача 17.

Найдите 3 натуральных числа a,b,c таких, что

Задача 18

Найите наименьшее натуральное n для которого существует такое натуральное m, что

 Задачи прислали:

16 – Николай (smekalka.pp.ru)

17 – sek140675 (nazva.net)

18 – Семён Знаковян (*ALEX ALKIN*)

Решения принимаются как минимум до 2 апреля

Решения задач 3

Задача 7.

Поскольку в условии не сказано «различных», это даёт нам свободу манёвра:

203= 7*29*1*1*…*1=7+29+1+1+…+1 Единиц будет 167

Ответ:можно

Задача 8.

Можно представить даже три способа

Задача 9.

Достаточно вспомнить, что палиндромами являются все однозначные числа, и что наименьшее совершенное число – это 6=1+2+3.

В задаче не уточняется, нужно ли рассматривать только делители, меньшие самого числа, или же все. Но и для второго варианта подходит число 1=1.

Ответ: 6 (если рассматривать только делители, меньшие самого числа) и 1 (если рассматривать все делители)

Задача 10.

Пусть последняя цифра числа равна а, а остальные цифры формируют число Y. Тогда

10Y+a=nY

a=Y(n-10)

Т.к. a – цифра, то могут быть варианты:

n=10, a=0, Y – любое – подходят все числа, оканчивающиеся на 0;

n=11, a – любая цифра, Y=a – подходят все числа, состоящие из пары цифр;

n=12, a=2Y, подходят 12, 24, 36, 48;

n=13, a=3Y, подходят 13, 26, 39;

n=14, a=4Y, подходят 14, 28

Для n =15, 16, 17, 18, 19 подходят сами числа 15, 16, 17, 18, 19

Призовые баллы получают:

Семён Знаковян (*ALEX ALKIN*) - 20

Решения задач 2

Задача 4.

Рассмотрим остатки от деления степеней десяти на 93

n	10n mod 93
0	1
1	10
2	7
3	70
4	49
5	25
6	64
7	82
8	76
9	16
10	67
11	19
12	4
13	40
14	28
15	1

Они образуют период длиной 15. Среди этих чисел невозможно взять 2 таких, чтобы их сумма равнялась 93, значит, не существует числа вида 100..01, которое делится на 93. Из троек остатков на 93 будет делиться сумма r_n+r₁+r₀=82+10+1, она и укажет на минимальное число с минимальной суммой цифр, делящееся на 93 – это число 10000011.

Ответ: 10000011

Задача 5.

Поскольку каждое из чисел не превосходит 100, можем попросить компьютер предоставить нам значение выражения 100000000*число+1000000*месяц+10000*час+100*минуты+секунды.

Существует и более универсальный способ, который предложил Профессор Снейп (dxdy.ru): Нужно запросить результат 2^число*3^месяц*5^час*7^минуты*11^{секунды}. Такой способ будет работать для любого количества хранимых чисел любого размера.

Ответ: за один запрос

Задача 6.

Нужно найти, существует ли степень десятки, которая даёт остаток 58 при делении на 59. Такой степенью будет 10²⁹ . Значит 1{28нулей}1делится на 59.

Ответ: существует

Призовые баллы получают:

Николай (smekalka.pp.ru) – 8

Вован (nazva.net) – 5

Legioner93 (dxdy.ru) - 5

GENERATION (smekalka.pp.ru) – 3

Профессор Снейп (dxdy.ru) – 3

ИСН (dxdy.ru) – 3

Disciple (nazva.net) - 3 

Условия задач 4

Задача 11. Сумма 10-ти различных натуральных чисел равна 2010, Какое набольшее значение может принимать сумма трёх наименьших из них?

Задача 12.
Решите в целых числах уравнение:


Задача 13.
Представьте число 13 в виде суммы трёх дробей, так, чтобы


Задача 14.
Вот целый ряд квадратов чисел. Что в них есть общего? (Общее свойство очень красивое)

419², 929², 1639², 2549², 3659², 4969²

Задача 15.
На столе лежат в открытую 12 карт: 4 туза (оценивается в 1 очко), 4 двойки и 4 тройки.
Игроки по очереди берут карты со стола и складывают в отдельную стопку, одновременно подсчитывая количество очков в ней. Проигрывает тот, после чьего хода в стопке окажется более 21го очка. Кто выиграет при правильной игре и какова выигрышная стратегия?

Задачи 11 и 12 прислал Семён Знаковян (*ALEX ALKIN*)
Задачи 13 и 14 прислал Вован (nazva.net)

Решения принимаются до 20:00 28 марта

//Поправка: при выставлении сроков не учёл, что 28е - это воскресенье, так что продлю до вечера понедельника - как раз сейчасрешения активно приходят.

Математический аукцион 1: необычное число.

Правила математического аукциона.

Даётся исследовательская задача. Участники в комментариях предлагают свои варианты решения. Каждое решение, оказавшееся лучше присланного перед этим решения другого участника, оценивается всё большим количеством баллов. Если участник присылает несколько решений подряд, оценивается самое лучшее из них.

Задача

Число 210 делится на 21 и на 10.

Найдите как можно более длинное число, которое делится на все двузначные числа, образованные его соседними цифрами.  (Нули внутри числа и повторяющиеся 2-значные фрагменты в нём не допускаются). 

Решения задач 1

Задача 1.

Треугольники AOM и BOА – прямоугольные, имеют равные острые углы и общий катет. Следовательно, они равны и AB=AM=MC. Значит АС=2АВ.

Троек последовталеьных чётных чисел, одно из которых вдвое больше другого – две. Это 2, 4, 6, не задающая треугольник и 4, 6, 8, которая и будет решением.

Ответ: 4, 6, 8.

Задача 2.

Рассмотрим три последовательных числа: n-1, n, n+1. Сумма их кубов равна (n-1)³ + n³ + (n+1)³ = n³ – 3n² + 3n – 1 + n³ + n³ + 3n² + 3n + 1 = 3n³ + 6n = 3n(n²+2).

Это говорит нам, что сумма трёх последовательных кубов всегда делится на 9, т.к при n делящемся на 3, на 9 будет делиться 3n, а в ином случае - 3(n²+2). Так что признак делимости на 9 ничего не проясняет.

Однако подбирая больше троек чисел для анализа, мы быстро натыкаемся на решение задачи.

n	3n(n2+2)
0	0
1	9
2	36
3	99
4	216
5	405
6	684
7	1071
8	1584
9	2241
10	3060
11	4059
12	5256
13	6669

12³ + 13³ + 14³=6669.

Следующая такая тройка:

22³ + 23³ + 24³=36639

Ответ: существуют.

.Задача 3.

Доказательство:

Рассмотрим 94 числа, записанных единицами: 1, 11, 111, …[число из 94 единиц]. Существует 93 возможных остатка от деления на 93. Следовательно, по принципу Дирихле, мы будем иметь два числа, сотосящих из одних едниц, дающие одинаковый сотаток при делении на 93. Разность их, число вида 11…10…0 будет делиться на 93. Т.к. 93 и 10 взаимно просты, то и число из одних единиц, полученное отбрасыванием нулей от разности, тоже будет делиться на 93. А, значит, существует и число из одних троек, которое будет делиться на 93.

Хотя само число приводить не требовалось, многие участники его нашли. Это пятнадцать троек:  333333333333333.

Призовые баллы получают:

Семён Знаковян (*ALEX ALKIN*) - 10

GENERATION (smekalka.pp.ru) – 9

николай (smekalka.pp.ru) – 3

lkob (nazva.net) – 3

НафтюФа (nazva.net) – 3

Условия задач 3

7. Можно ли число 203 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел, произведение которых равно 203?

8. Можно ли разделить равносторонний треугольник на 4 части, одна из которых - равносторонний треугольник, а остальные три – не треугольники и равны между собой?

9. Существует ли натуральный палиндром, который равен сумме своих делителей? (Палиндром – число, читающееся одинаково справа налево и слева направо.)

10. Существует ли такое натуральное число, которое после отбрасывания последней цифры уменьшится в целое число раз?

Задачи прислал Семён Знаковян (*ALEX ALKIN*). Ответы открываются через неделю, 22 марта в 20:00

Условия задач 2

4) В каком наименьшем числе, которое делится на 93, сумма цифр равна 3?

5) В компьютерной программе хранится 5 чисел: дата (число, номер месяца) и время (часы,минуты,секунды). На ввод дается конечное выражение, состоящее из любого числа трех арифметических действий (+, -, *), скобок, 5 хранимых переменных и любых целых чисел. Выводится результат результат подсчета по формуле.

Например, если пользователь попросит выдать (число+месяц-час+минута*секунда-2), а в программе хранится 21 января, 13:15:23, то она выдаст число 352.

Вопрос: за какое минимальное количество запросов можно узнать, какие именно числа хранятся в программе? Приведите эти запросы.

6) Существует ли натуральное число, в котором две единицы, а остальные цифры - нули, и которое делится на 59?

Задачу 4 прислал Вован с nazva.net, задачу 5 - Legioner93 с dxdy.ru, задачу 6 - Николай со smekalka.pp.ru

Ответы открываются в 20:00 18 марта
По просьбам новых участников, срок подачи ответов продлён до 20:00 22 марта

Условия задач

1) В треугольнике одна из медиан перпендикулярна одной из биссектрис. Найти стороны треугольника если они выражены тремя последовательными чётными числами.

2) Найти три последовательных натуральных числа, если известно что сумма цифр числа, образованного сложением кубов этих чисел, равна 27

3) Существует ли число, записанное только цифрами 3, которое делится на 93?

Задачи 1 и 2 прислал Семён Знаковян (*ALEX ALKIN*)

Ответы открываются в 20:00 16 марта