Решения задач 6

Задача 19.

Обозначим





При этом
  , а .
Так что
 

Сравним
















Ответ: первое выражение больше.

Задача 20
Общий вид треугольных чисел: .

Т.к. оно должно быть квадратом, имеем диофантово уравнение:



Решим его как квадратное относительно n:
Дискриминант должен быть полным квадратом, так что имеем новое уравнение, на этот раз без первых степеней:



Такое диофантово уравнение называется уравнением Пелля. Очевидны его решения k=1, m=0 и k=3, m=1. Кроме того, треугольно-квадратным, как было сказано в условии, является число 36, поэтому имеем: m=6 и k=17.

Решения уравнения Пелля подчиняются рекуррентному соотношению, в данном случае это будет
  и .

Следующее m будет равно 6*6-1=35 и

Ответ: Таких чисел будет бесконечно много, а следующее – 1225.

Задача 21.
Прибавим и отнимем




Задача 22.
Остатки при делении на 7 будут имеют период длины 3 и равны: (1, 2, 4). Остатки при делении на 7 имеют период длины 7 и равны (0, 1, 4, 2, 2, 4, 1).

Чтобы разность делилась на 7 необходимо, чтобы эти остатки были равны. Это приводит нас к уравнениям:

а) n=3m=7k+1
n=21t+15

б) n=3m=7k+6
n=21t+6

в) n=3m+1=7k+3
n=21t+10

г) n=3m+1=7k+4
n=21t+4

д) n=3m+2=7k+2
n=21t+2

е) n=3m+2=7k+5
n=21t+5

Итак, число n должно давать остаток 2, 4, 5, 6, 10 или 15 при делении на 21.
До 10000 групп по 21 числу будет 476, что даёт нам 2856 решений. А т.к. 10000 даёт остаток 4 при делении на 21, то будет ещё два решения, соответствующие остаткам 2 и 4.

Ответ: 2858

Призовые баллы получают:
Alexisto: +12
Alexalkin (nazva.net): +11
Сергей Кузнецов: +5
Наталия Макарова: +5