Математические Маневры: Ход 9, часть 1

После большого обмена территориями на ходу 8, 9 ход участники в основном обустраивают и подготавливают к обороне свои новые территории. Атаковано всего 3 провинции.

Десантов не было.

Математические Маневры: Ход 8, часть 2

После кратковременного эпизода с четырьмя игроками на карте, остров снова оказался разделён между тремя участниками. Однако Zhekas теперь получает возможность выбора для атаки любых прибрежных областей и, возможно, это был хитрый тактический ход?

Карта острова приняла вид:

К интерактивной карте математического острова

Текущие баллы:
Nazva - 83+85=168+58=226+34=260+54=314+51=365+35=400+38=438
E-science.ru - 65+114=179+76=255+71=326+61=387
Armless - 15+17=32

Математические Маневры: Ход 8, часть 1

Начался этап оценивания командами результатов атак на их провинции.

Карта атак:

К интерактивной карте математического острова

Правила атаки и обороны

Математические маневры - новый конкурс, многие его аспекты всплывают по ходу и нуждаются в дополнительной регулировке.

Я стараюсь сделать конкурс интересным для участников и обеспечить предоставление равных шансов. Что-то, возможно, удаётся, что-то - не очень, и я прошу участником маневров обсудить возможности по улучшению.

Сейчас при приёме задач существуют 2 требования:
1. Верное решение задачи должно быть известно самим задающим и предоставлено организатору
2. Формулировка задачи должна быть максимально чёткой.

Когда появилась сама идея конкурса была мысль ограничиться только задачами с числовым ответом, чтобы проще было устанавливать правильность/неправильность. Но в боевой версии правил этого пункта нет. Нет и запрета на использование калькуляторов и математических программ. Однако при формулировке задачи можно устанавливать дополнительные ограничения на принимаемый результат: в виде числа, с преобразованиями и пр.

Как вы думаете, плохо это или хорошо? Какие правила бы вы предложили для улучшения конкурса?

Т.к. комментарии одновременно скрываются во всём блоге, и к этому посту они откроются после первого полухода хода 8 (к 20-00 мск сегодня).

Математические Маневры: Ход 7, часть 2

Итак, завершён ход 7. Новая схема (сутки на решения, сутки на проверку) оправдывается себя: двое суток за ход - вполне приемлемый темп..

Карта продолжает закрашиваться в белый цвет E-science:

На втором полуходу на мыс Простых чисел высадился новый участник маневров: Armless, развив атаку, которую начал Tifuera.

На всякий случай напоминаю текущую схему игры:
Ход длится двое суток. На протяжение первых суток игроки отправляют решения для атаки областей в комментарии. Комментарии скрываются.
На вторые сутки комментарии публикуются и владельцы атакованных провинций указывают, какие из решений были правильными. Если было несколько решений от одного участника (игрока или команды), то оценивается только последнее.

К интерактивной карте математического острова
Текущие баллы:

Smekalka - 24

Nazva - 83+85=168+58=226+34=260+54=314+51=365+35=400
Zhekas - 34+25=59+30=89+36=125+41=166+7=173
E-science.ru - 65+114=179+76=255+71=326

Tifuera - 10

Mudrec - 0

Armless - 15

Кстати, возникает ещё одна тема для обсуждений - использование калькуляторов и матпакетов. Я сознательно не включал это ограничение в условия игры, однако вполне допускаю наличие такого требования в выставляемых для обороны задачах.

P.S. Разумеется, требование присылать решения задач в течение первого полухода не мешает решать задачи в любое удобное для игроков время.

Математические Маневры: Ход 7, часть 1

Участники маневров в течение первого полухода атаковали провинции. Теперь их комментарии публикуются и в течение следующего полухода ожидается реакция обороняющихся.

Премодерация комментариев отключена, так что условия новых задач (которые будут выставлены перед ходом 8) лучше присылать в ЛС на форумах или на почту intelmath@narod.ru

Карта атак:

Математические маневры: ход 6

Итак, завершился 6й ход маневров. E-science уверенно держит лидерство, а на второе место по количеству контролируемых территорий вышел Zhekas.
Карта острова сейчас выглядит так:

К интерактивной карте математического острова

Текущие баллы:
Nazva - 83+85=168+58=226+34=260+54=314+51=365
Zhekas - 34+25=59+30=89+36=125+41=166
E-science.ru - 65+114=179+76=255


С обострением борьбы существенно возросло количество задач, требования к решениям, и, соответственно, мой объём действий, необходимый для обеспечения работы маневров.В связи с этим есть 2 предложения по изменению игрового процесса:


1. Увеличить длину хода до 2 суток. 
2. Оценивать решения непосредственно командам, чью область атакуют. Для этого комментарии в блоге сделаются открытыми и всё будет происходить так в течение первого полухода (суток) атакующие отправляют свои решения в комментарии области, а в течение следующего полухода (суток) обороняющий область игрок даёт свои отзывы по решениям. Форма отзыва обуждаема - или просто "правильно/неправильно", или указать, в какой момент атака захлебнулась.


Присылать задачи для выставления в провинциях можно будет мне на почту intelmath@narod.ru или в личные сообщения на форумах.

Математические маневры: ход 5

Итак, на 5 ходу E-science расширила свою территорию.
Участники маневров теперь стараются по максимуму укрепить свои территории - игра пошла острее.
Атак на следующем ходу будет немного (если никто из командиров эскадр Смекалки, Тифуэры или Мудреца не решится, наконец, предпринять высадку), в основном будут происходить укрепления занятых территорий.
Есть вероятность, что завтра не смогу быть вечером у компа и ход растянется на двое суток. Но это не наверняка.

К текущей карте математического острова

Текущие баллы:

Smekalka - 24

Nazva - 83+85=168+58=226+34=260+54=314

Zhekas - 34+25=59+30=89+36=125

Tifuera - 0

E-science.ru - 65+114=179

Mudrec - 0

Математические маневры: ход 4

На четвёртом ходу E-science осуществила полномасштабную высадку на Восточном побережье.
Весь остров теперь поделен между участниками маневров.

Ошибка ведущего при определении принадлежности провинций на прошлом ходу привела к атаке Цифрового нагорья участниками, которые на самом деле не смогли бы это сделать. Вопрос о принадлежности этой области решится буквально сейчас же.

К текущей карте математического острова

Текущие баллы:

Smekalka - 24
Nazva - 83+85=168+58=226+34=260
Zhekas - 34+25=59+30=89
Tifuera - 0
E-science.ru - 65
Mudrec - 0

Математические маневры: ход 3

Итак, на третьем ходу в игру включился ещё один активный участник: команда E-Science предприняла попытку высадить десант на Мысе Простых чисел.

На западе острова Назва захватила Параболическую оконечность у Zhekas'a, войска которого в это время были в походе и заняли Квадратный берег и джунгли задач на движение. Ожидаем дальнейшего развития событий.

Текущие баллы:

Smekalka - 24

Nazva - 83+85=168+58=226

Zhekas - 34+25=59+30=89

Tifuera - 0

E-science.ru - 0

Mudrec - 0

К текущей карте математического острова

Математические маневры: ход 2

На 2 ходу Назва расширила свои владения и укрепила ранее занятые территории.Прямо из-под носа у Zhekas'a были перехвачены функциональные равнины.

В действия, приносящие баллы, добавлено составление задач: по 7 баллов за каждую.

Кстати, напоминаю, что согласно правилам, игроки, уже закрепившиеся на острове, могут расширяться в направлении территорий, граничащих с ними. Возможно, время, потраченное на атаку удалённых провинций и сыграло свою роль.

И ещё - про командное участие и про предложение различных вариантов решения задачи. В случае с индивидуальным участием, окончательным решением считается то, которое пришло позже. А в случае с командным, я предлагаю участникам команды определяться и решать, какое решение всё-таки посылать.

А тем временем флоты Смекалки и Tifuera крейсируют в прибрежных водах, выбирая удобное место для высадки. Интересно, кто-то из участников помешает перекрашиванию острова в оранжевый цвет?

Smekalka - 24

Nazva - 83+85=168

Zhekas - 34+25=59

Tifuera - 0

К текущей карте математического острова

Математические маневры: ход 1

На 1 ходу Назва стремительным десантом с моря овладела четырьмя областями, иногда на считанные минуты опережаю конкурентов: Смекалку и Zhekas'a. В боевом азарте MagTux даже предпринял попытку захвата первым же ходом двух внутренних провинций, однако авиадесанты правилами маневров не допускаются. С целью сохранения принципа равных просьба перепослать решения задач для этих областей.

Следующим ходом Назва должна выставить как минимум 4 укрепления на занятых территориях, иначе через ход первый же желающий занять их сможет сделать это, просто оставив соответствующий комментарий.

Zhekas'y, занявшему параболическую оконечность на юго-запале, на втором ходу открыто только направление атаки на Функциональные равнины. А дальше - выход на оперативный простор.

Смекалка, не закрепившись на побережье на первом ходу, сможет воспользоваться этим как преимуществом, т.к. у неё остаётся возможность выбора любой прибрежной области для атаки .

Текущие баллы:

Smekalka - 24

Nazva - 83

Zhekas - 34

К текущей карте математического острова

Джунгли задач на движение

Чтобы занять область, нужно решить 1 задачу:


Задача 10
Сфера поделена на государства, и границами служат 17 больших кругов этой сферы. Ни в одной точке не граничат более 4 государств. Путешественник утверждает, что объехал все государства наземным транспортом, побывав в каждом по одному разу и не проезжая точки, где граничат какие - либо 4 государства. Могло ли так быть?

К карте математического острова

Решенные задачи:

Задача 1. Два лыжника двигались со скоростью 12 км/ч. При входе на сложный участок их скорость уменьшилась до 8 км/ч. Когда оба лыжника оказались на сложном участке, расстояние между ними составило на 300 метров меньше изначального. Каким было изначальное расстояние между лыжниками?

Задача 2. Туристы пошли в похол. На указателе в деревне было написано, что до места назначения осталось 2 часа 55 минут пешим ходом. Из этой деревни они вышли в 12-00. В 13-00 они устроили 15-минутный привал и увидели другой указатель, согласно которому до места назначения остаётся 1 час 15 минут ходьбы пешком. После привала они продолжили путешествие с той же самой скоростью и шли без остановок. В котором часу туристы добрались до места назначения?

Задача 3. В подсобном помещении 2х4 метра устроили ремонт. Вдоль одной из длинных стен по полу был прикреплён 4-метровый короб для проводов шириной 6 см. Оставшуюся площадь пола выложили плиткой. В наличии было два вида квадратной плитки со сторонами x см и y см. Причём длины сторон плиток были целыми сантиметрами. На выкладку пола было потрачено ровно 125 плиток одного вида и ровно 114 плиток другого вида. Назовите все возможные размеры плиток, подходящих под условие.

Задача 4. Вычислите

Задача 5

Мастер спорта даёт сеанс одновременной игры в шахматы на нескольких досках. За первые два часа он выиграл P% всех партий и проиграл L партий. За следующие два часа он выиграл Q% остальных партий, M партий проиграл и N партий закончились вничью. Сколько игр сыграл мастер?

Задача 6

Имеются купюры номиналом 1, 10, 100 и 1000 рублей. Сколько существует способов получить миллион рублей из двух тысяч купюр?

Задача 7

К некоторому числу прибавили сумму его цифр. С результатом проделали то же самое. Всего операцию проделали 5 раз и получили 1000. Назовите изначальное число и приведите метод его нахождения, не являющийся грубым перебором.

Задача 8

Формула-1 впервые проводится в Москве , по развязке МКАДА с Рублевкой (картинка в виде 4х кривых клеверных листиков).Осмотрев трассу, гонщик Шухерман представил ее приближенно как сопряжение дуг окружностей и забил в бортовой компьютер следующий закон движения: стараться,чтобы скорость (в футах/сек) была численно равна радиусу проходимой окружности в метрах.. Оцените результат Шухермана на круге (между двумя соседними прохождениями точки старта)

Задача 9

Посади олигарха.Городок имеет форму прямоугольника 4х6 км. Данные слежения за олигархом Жульманом и его автомобилем в течение последней недели:

1.Пробег автомобиля 2517 км.

2.Сумма модулей всех углов поворота стрелки компаса ,закрепленного на приборной панели автомобиля, 2010 румбов (1 румб=.

3.Автомобиль в отсутствие в нем Жульмана не передвигался.

4.Движение задним ходом не применялось.

К сожалению, аппаратуру, снимавшую другие данные, олигарх сумел вывести из строя.

Можно ли на основании этих данных доказать, что Жульман нарушил подписку о невыезде из городка?

Приведите речь эксперта обвинения. если да, и адвоката, если нет. На презумпцию особо не надейтесь.

Долина математических игр

Чтобы занять область, нужно решить задачу:

Задача 8
Волк гоняется за зайцем на круглой арене. Максимальные скорости их одинаковы. Сможет ли Волк поймать Зайца?

К карте математического острова

Решенные задачи:

Задача 1. Абориген и Турист сидят на берегу и по очереди берут ракушки из кучи. За один ход можно взять 1, 3 или 7 ракушек, выигрывает тот, кто забирает последнюю. Начинает Абориген, который знает выигрышную стратегию. Каковы шансы у Туриста на победу, если он делает ходы случайным образом, а вначале в куче 2010 ракушек?


Задача 2. В куче лежит N камней. Турист и Абориген поочерёдно берут оттуда по число камней, являющееся степенью четырёх (1, 4, 16, 64 и т.д.). Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Начинает Турист. Каждый игрок играет наилучшим для себя образом и не делает ошибок.

Найдите общий вид чисел N, при которых партию выиграет Абориген.

Задача 3

Сколько существует 2010-значных натуральных чисел, которые делятся на 7 при любом порядке своих цифр?

Задача 4

Найти уравнение с целыми коэффициентами, имеющее корень 

Задача 5

a + b + c = 2010 (a,b,c - целые) Найти остаток от деления a³ + b³ + c³ на 6

Задача 6
Абориген и Турист сидят на берегу и по очереди берут ракушки из кучи. За один ход можно взять 1, n или 7 ракушек, выигрывает тот, кто забирает последнюю. Вначале розыгрыша в куче M ракушек.

Игра заключается в том, что сначала игроки называют числа M, n
Может ли Абориген назвать такое число M, что какое бы n ни назвал Турист, начиная Турист обязательно проиграет.

Задача 7

Утка плавает по круглому озеру со скоростью 2, лиса бегает со скоростью 9 по берегу. Сможет ли оказаться в некоторой точке берега раньше лисы?

Квадратный пляж

Область на 13 ходу занял Евгений. Возводятся укрепления.

Игра завершена, но предлагаю в ходе AfterParty рассмотреть 3 задачи от Евгения:
Задача 8
В выпуклом многоугольнике все углы равны и последовательные стороны образуют неубывающую последовательность. Доказать, что многоугольник правильный.

Задача 9
На плоскости дана прямоугольная система координат. Доказать, что все координаты вершин правильного шестиугольника не могут быть целыми числами.

Задача 10
На прямой находятся паук и муха. Максимальная скорость паука вдвое больше максимальной скорости мухи, но он ничего не знает о местоположении мухи до тех пор, пока они не окажутся в одной точке. Сможет ли паук догнать муху?

К карте математического острова

Решённые задачи:

Задача 1. На сторонах BC и CD квадрата ABCD даны точки K и M соответствено так, что ВK=KC, CM=2DM. Найдите угол MAK

Задача 2. Плоскость замостили квадратами двух типов, как изображено на рисунке. Сторона меньшего квадрата равна b, а большего - а. Угол между прямыми, изображенными пунктиром равен 30 градусов. Чему равно отношение а:b?

Задача 3 Некоторое 26-значное натуральное число abc...xyz умножили на 9 и получили инверсное ему число zyx...cba. Назовите это число.

Задача 4. На рисунке изображены три полуокружности радиуса 2. Точки A и B расположены в точности над центрами E и F двух нижних полуокружностей. Чему равна площадь закрашенной фигуры?

Задача 7

В центре О квадратного загона находится заяц, скорость которого 1. К загону по двум парам смежных сторон примыкает два соседних , в каждом из которых бегает по 1 собаке, скорости каждой корень из 2, и в начальный момент расположились наиболее выгодным для себя образом. Изгородь загонов проходима для зайца, но непроходима для собак. Сможет ли заяц вырваться за пределы загона? Укажите стратегию победителя

Задача 5

В центре квадратного загона находится заяц, скорость которого корень из 2. В соседних 4-х загонах бегают по 3 собаки, скорости каждой 1, и в начальный момент расположились наиболее выгодным для себя образом. Изгородь загонов проходима для зайца, но непроходима для собак. Сможет ли заяц вырваться за пределы загона? Укажите стратегию победителя

Задача 6

Каждый угол квадратного листа площади 1 загнули одинаковым образом, так, что получился новый квадрат площади s=0,72. Найти площадь «однослойной» части нового квадрата ( в виде дроби)

Функциональные равнины

Чтобы занять область, нужно решить задачу:

Задача 8

Про функцию c₁+c₂2^x+c₃3^x+...+c₂₀₁₀2010^x известно, что она обращается в 0 при 2010 различных значениях х. Найти коэффициенты c₁,...,c₂₀₁₀

К карте математического острова

Решенные задачи:

Задача 1. Для функции f(x), определённой для всех ненулевых аргументов, выполняется yf(xy)=f(x) для любых x, y из её области определения. Если f(30)=20, то чему равно f(40)?

Задача 2. Виталик сложил числа дней и числа месяцев дат рождения всех своих друзей и получил 35. Даты рождения его друзей различны. Какое наибольшее возможное количество друзей у Виталика?

Задача 3

A,B,C,D - последовательные вершины правильного семиугольника со стороной a. X - точка пересечения AC и BD. AX=b. Найти AD (и записать в максимально короткой форме)

Задача 4

Бильярдист из бильярдных шаров выложил квадрат, а потом из этих же шаров выложил равносторонний треугольник. Количество шаров в стороне квадрата и треугольника отличаются на 2. Сколько у бильярдиста было шаров?

Задача 5

У каждого из чисел от 1 до 999999 посчитали суммы цифр. В получившемся ряду опять посчитали суммы цифр. И т.д. пока в ряду не остались только однозначные числа. Получившиеся числа соединили в 999999-значное число и разделили на 9. Чему равен результат?

Задача 6

Назовём прямоугольный параллелепипед хорошим, если его можно разрезать на два равных прямоугольных параллелепипеда. Сколько существует хороших прямоугольных параллелепипедов, имеющих грань 2x6?

Задача 7

Найти предел при n, стремящемся к бесконечности, последовательности 

где x₀=a, x_n=sin x_n-1

Задача 9

Шириной многоугольника называется максимум расстояний между его произвольными точками. Правильный 2010-угольник со сторонами, равными 1, имеет ширину

  

Привести пример выпуклого  2010-угольника со сторонами, равными 1, имеющего ширину еще меньше.

Табличная бухта

К карте математического острова

Чтобы занять область, нужно решить 2 задачи:


Задача 9
Угадайте сколько в моём альманахе страниц (нумерация с 1 без ведущих нулей) при условии:
Если посчитать количество цифр в номерах страниц, то их будет 333.
Если посчитать количество троек в номерах страниц, то их будет 333.

Задача 10
Некоторая функция определена для всех натуральных аргументов 100000<=X<=999999.
Вот некоторые её значения:
f(100000)=40
f(384891)=85
f(418703)=32
f(504704)=67
f(619919)=0
f(827190)=3
Найдите все возможные аргументы функции, при которых она имеет максимальное значение, если известно, что минимальное её значение = 0. Также известно, что в значениях функции не может быть цифры 1.
UPD 9.11.10:
Ещё 5 значений на сгенерированные случайным образом аргументы:
f(291214)=22
f(191015)=2
f(245269)=30
f(907204)=4
f(672197)=70
Кроме отсутствия единиц известно также, что в значениях не более двух цифр.


Решённые задачи

Задача 1. Прямоугольник размерами 2012х2010 раскрашен так, как показано на рисунке (каждый закрашенный прямоугольник имеет размер 1х3). Чему равна площадь закрашенной части?

Задача 2. Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, …записываются в клетки бесконечного листа по спирали, начиная с отмеченной клетки. Какая цифра будет стоять на 100 клеток выше отмеченной?

	1	2	3	4	5	1
	5	2	3	4	5	2
	4	1	1	2	1
	3	5	4	3	2
	2	1	5	4	3

Задача 3. abbc, cdde, faeecfac - натуральные числа. a,b,c,d,e,f - различные цифры, составляющие эти числа. Найдите все возможные решения уравнения abbc*cdde=faeecfac

Задача 4. Найти все значения х, удовлетворяющие уравнение acx²-(ad+bc)x+bd=0, где ac=1, bd=4, a+b=10²⁰¹⁰, c+d=10^-2009

Задача 5

Привести пример заполнения действительными числами таблицы 5*5 такой,что:

1)произведение чисел в любой строке равно 1

2)произведение чисел в любом столбце равно 1

3)произведение чисел в любом из 9 квадратов 3*3 внутри данной таблицы равно 2

Задача 6

Прямоугольная таблица 16*5 раскрашена в три цвета. Всегда ли найдется прямоугольник со сторонами .параллельными краям таблицы, и вершинами одного цвета?

Задача 7
В квадратной таблице 6*6 расположены числа 1,2,..36 так, что сумма двух соседних (имеющих общую сторону) чисел не превосходит S. Найдите наименьшее S , при котором это возможно, и как.

Задача 8

Доказать, что такую последовательность равенств можно продолжать бесконечно:

1 + 2 = 3

1*2 + 2*3 + 3*4 = 4*5

1*2*3 + 2*3*4 + 3*4*5 + 4*5*6 = 5*6*7

...

Параболическая оконечность

Чтобы занять область, нужно решить 3 задачи:
Задача 7
Кубическая парабола y=x³+ax²+bx+c касается как параболы у=х², так и параболы у=х²+1. При этом плоскость делится на несколько областей, ровно 2 из которых ограничены. Какие значения может принимать отношение их площадей?

Задача 8
На плоскости дана произвольная парабола. Из точки А снаружи параболы проведены к ней касательные AP и AQ (что означает, что точки P и Q лежат на параболе). На прямой PQ взята вне параболы точка В, из нее проведены касательные ВМ и ВN. Доказать, что точка А лежит на прямой MN.

Задача 9
Кубическая парабола вида y=ax³+bx²+cx+d пересекает ось х в трех точках, координаты двух самых правых (m,0) и (n,0) известны. Из третьей точки пересечения проведена касательная к параболе. Найти выражение х-координаты точки касания через m,n

К карте математического острова

Решённые задачи:

Задача 1. Найдите все значения k, при которых прямая касается параболы ?

Задача 2. Ордината вершины параболы равна -7. Какое наибольщее число целых чисел может находиться между корнями уравнения  ?

Задача 3 Три окружности с радиусами 1, 2, и 3 попарно касаются друг друга внешним образом. Найти длину большей дуги наименьшей окружности, ограниченной точками касания

Задача 4 Основание дома - прямоугольник 4м x 6м. На улице к одному из углов дома привязали собаку на веревку длинной 10м. Найти площадь участка по которому может гулять собака

Задача 5 Разница площадей двух квадратов равна 2011. Назовите длины сторон квадратов.

Задача 6

Лягушка прыгает по координатной плоскости. Каждый прыжок параллелен одной из координатных осей и имеет длину 1. Сколько на плоскости точек, в которых лягушка может оказаться, сделав ровно 10 прыжков

Хребет Натуральных чисел

Чтобы занять область, нужно решить 3 задачи:
Задача 7
Даны шесть одинаковых по размеру кубиков разного веса: 1, 2, 3, 4, 5 и 6 грамм. Hа кубиках написаны числа от 1 до 6. Требуется с помощью чашечных весов (без гирь) доказать или опровергнуть утверждение: "Числа на кубиках соответствуют их весу в граммах". За какое минимальное количество взвешиваний это можно сделать (и как)?
Весы не отрегулированы, взвешивать на равенство весов нельзя, но разницу в весе в хотя бы в 1 грамм покажут верно.

Задача 8
Найти последние 3 цифры числа

(в последнем множителе 2010 троек)

Задача 9
Дана функция f(x)=x²+6x+6
решить уравнение:
f(f(f( ... f(x) ... )))=0
Взятие функции происходит 2010 раз.

К карте математического острова

Решенные задачи:

Задача 1. Для скольких натуральных чисел n от 1 до 1000 включительно число 2nⁿ является кубом натурального числа?

Задача 2. В сейфе хранится несколько колье. В каждом из них одинаковое количество бриллиантов (больше одного). Если бы было известно общее количество бриллиантов в сейфе, то можно было бы однозначно определить, сколько в нём колье. Сможете ли вы узнать это, если мы вам скажем, что бриллиантов в сейфе от 200 до 300?

Задача 3

Сколько существует наборов из 6 рациональных чисел a,b,c,d,e,f таких, что

Задача 4

Продолжить последовательность чисел 1, 21, 31, 34, 41, 43, ...

//По традиции оценивания задач на последовательности, засчитываются и не совпадающие с загаданным правила, если те не используют для своего вывода всех известных членов (аппроксимация многочленом 5-й степени - не решение).

Задача 5

В начале дана дробь  . Умножим числитель и знаменатель на удвоенный числитель и вычтем из нового числителя единицу, будем повторять эту операцию многократно. К какому числу будет стремиться дробь?

Задача 6

В треугольнике АВС угол В - прямой. На гипотенузе АС отметили точку О. Через точку О провели прямую КО, где КО||ВС, К лежит на АВ. Через точку О провели также прямую МО, где МО||АВ, М лежит на ВС. Где должна быть отмечена точка О, чтобы длина отрезка КМ была наименьшей?

Мыс Простых чисел

Чтобы занять область, нужно решить 2 задачи:
Задача 12
Найти наименьшее натуральное число, которое тремя способами представляется в виде разности квадратов двух соседних простых чисел. Например,72=11²-7²=19²-17² представляется только двумя способами

Задача 14

Турист и Абориген продолжают играть в ракушки
Туристу никак не удается выиграть и он придумывает новые условия:
Пусть будет так - за один ход можно взять 1, N₁ или N₂ ракушек, выигрывает тот, кто забирает последнюю. В начале розыгрыша в куче M ракушек,

Ты называешь число M<500, а я после этого N₁ и N₂. Далее ты ходишь первым.
Абориген немного подумал и сказал - хорошо, только N₂<12 и еще я назову число A, которое ты не сможешь выбрать как N₂.
Турист согласился.
Какие M и A нужно выбрать Аборигену, чтобы выиграть и на этот раз?


К карте математического острова

Решенные задачи:

Задача 1. Назовём тройку простых чисел особенной, если их произведение впятеро больше суммы. Сколько существует таких особенных троек?

Задача 2. Вася задумал некоторое натуральное число, возвёл его в шестую степень, а затем выписал в порядке возрастания все цифры полученного числа. Получилась запись 0, 2, 3, 4, 4, 7, 8, 8, 9. Какое число задумал Вася?

Задача 3. Число X - натуральное 10-значное число, в котором все цифры различны, и делящееся на 36. Назовите наименьшее число, удовлетворяющее условию.

Задача 4

Найти все простые числа p такие, что 2^p+2010 делится на р

Задача 5

Сколько существует простых чисел в бесконечной последовательности

1+1

1+1+(1+2)

1+1+(1+2)+(1+2+3)

1+1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)

Задача 6

Является ли простым число

Задача 7

В результате драки с вашим коллегой за листок с магическим квадратом 6х6 (сумма равна для всех вертикалей, горизонталей и обеих диагоналей), состоящим сплошь из не повторяющихся простых чисел, у вас в руках остался обрывок, содержащий:
  3 | 5 | 47 | 109 | 131
 89 | 73| 53 | 97
151 |167| 83
 71 |41
 17
Но вам и этого хватит, для восстановления квадрата , правда?

(в ответе, кроме слова "да", хотелось бы увидеть любой, удовлетворяющий условиям, магический квадрат)

Задача 8

Заполните правильно пропуски:

?, 15, 21, ?,27, 35, ?, 45, 51, ?, 57, 65, ?, 75

//По традиции оценивания задач на последовательности, засчитываются и не совпадающие с загаданным правила, если те не используют для своего вывода всех известных членов

Задача 9

Население страны ежегодно уменьшается на 1/70. Через сколько лет население страны станет вдвое меньше?

Задача 10

Найти наименьшее число, записываемое одними единицами, которое делилось бы на 333…3 (сто троек).

Задача 11

Мяч, ударяясь о землю, отскакивает и поднимается на 2/3 высоты, с которой падал. Если в первый раз он упал с высоты 8.1 м, то после скольких отскакиваний он поднимется на 1.6 м?

Задача 13

Из бесконечной последовательности

1,

1+(1+2),

1+(1+2)+(1+2+3),

1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4), ...

выбрать бесконечную подпоследовательность, все числа которой попарно взаимно просты.