18 сентября 2010

Разбор задачи ММ123 математического марафона

===============

MM123 (5 баллов)

Квадратная монета со стороной 1 см бросается случайным образом на лист бумаги, разлинованный квадратными клетками со стороной 2 см. Какая вероятность того, что монета попадёт целиком в клетку?

================

Решение
Бросание монеты можно описать математически как случайный выбор пары координат x и y, а также угла поворота монеты $\alpha$

Понятно, что можно рассмотреть один квадрат со стороной 2 и координаты центра (точки пересечения диагоналей) монеты будут принимать значения от 0 до 2.
Выразим вероятность попадания монеты в ячейку от угла $\alpha$, который образует её сторона с горизонтальной линией разметки.
Всилу симметрии угол $\alpha$ можно выбирать из диапазона от 0 до $\frac{\pi}{4}$.

При угле $\alpha$ монету можно вписать в квадрат, со сторонами, параллельными сторонам ячейки и равными $\sin\alpha+\cos\alpha$ (такую картинку можно видеть в индийском доказательстве теоремы Пифагора). Центр этого квадрата совпадает с центром монеты. Пересечение описанного вокруг монеты квадрата с ячейкой равносильно пересечению самой монеты с ячейкой.

Решение задачи о бросании квадратной монеты

"Бесконфликтная" область для центра монеты будет иметь форму квадрата, расположенного в центре ячейки. Сторона этого квадрата составит $2-\sin\alpha-\cos\alpha$. Тогда вероятность того, что при данном угле $\alpha$ монета попадёт целиком в ячейку, равна отношению площадей "бесконфликтного" квадрата и всей ячейки$\frac{(2-\sin\alpha-\cos\alpha)^2}{4}$

Взяв среднее интегральное этой дроби по $\alpha$ от 0 до $\frac{\pi}{4}$ получим вероятность $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{(2-\sin\alpha-\cos\alpha)^2}{4} \text{d}\alpha = \frac{5}{4}-\frac{7}{2\pi}\approx0,136$

Обсуждение

При упоминании случайного выбора сразу вспоминается классическая задача о произвольной хорде на окружности, решение которой зависит от того, как именно мы будем выбирать хорду. Здесь же процесс бросания определяется однозначно.

Ещё одна ассоциация с этой задачей - вычисление числа пи, бросая иголку на паркетный пол.

Для подтверждения уверенности в правильности решения можно воспользоваться моделированием процесса на компьютере. Кстати, я сам при её составлении и разработке черновика решения попался на то, что забыл поделить на длину отрезка, на котором берётся интеграл, и только результат моделирования заставил вспомнить об этом. Анализ решений показал, что в этом заблуждении я был не одинок.

Ещё одна причина, не позволившая одному из участников набрать максимальное количество баллов - выбор таких пределов интегрирования $\alpha$, при которых учитывается возможность пересечения с ячейкой только одной диагонали монеты.

Некоторые участники брали кратные интегралы или разделяли "бесконфликтный" квадрат на области, вычисляя площади каждой из них отдельно, что увеличило число шагов в решении, но не помешало получить правильный ответ.

Собственно задача рождается, если, решив аналогичную задачу о бросании круглой монеты, задуматься: а что будет, если монета квадратная?

Награды

За правильное решение этой задачи Сергей Половинкин, Виктор Филимоненков, Эдвард Туркевич, Анатолий Казмерчук, Николай Дерюгин и Дмитрий Пашуткин получают по 5 призовых баллов. Алексей Волошин и Евгений Машеров получают по 3 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи 4.3


================

Обзор задачи ММ123 подготовлен Алексеем Изваловым
Labels: , ,

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)