В октябре-ноябре 2012 года планируется провести финальный этап XV Всеукраинского турнира юных математиков имени профессора М.И.Ядренко. Информация относительно условий участия в турнире – на официальном сайте. Следующие задания предлагаются для I этапа турнира (межшкольных, районных, городских, областных соревнований).
1. Уравнение с целыми частями
Для каждого значения параметра
решите уравнение [a sin x] = [a cos x]
Обозначение [x] означает антье, наибольшее целое число, которое не превышает х.
2. Восстановите треугольник
На доске изобразили такой треугольник АВС, что АВ + АС = 2ВС. В нем провели биссектрисы AL1, BL2 и CL3, после чего все вытерли, кроме точек L1, L2 и L3. С помощью циркуля и линейки восстановите исходный треугольник АВС.
3. Игра в шарики
На столе лежат две кучки шариков, в одной их m, а в другой – n штук. За один ход из любой кучки можно взять 1, 2 или 3 шарика. Ваня и Маша делают ходы по очереди, Маша начинает. Выиграет тот, после чьего хода на столе вовсе не окажется шариков.
Кто может обеспечить себе победу (в зависимости от m и n)? Опишите выигрышную стратегию.
4. Разложение на множители
Докажите, что число 44...488...853, в котором 2012 четверок и 2010 восьмерок является составным. Представьте его в виде произведения двух множителей с минимально возможной разностью.
5. О количестве решений диофантового уравнения
Для целого неотрицательного числа n и натурально m обозначим через Sm(n) количество всех решений уравнения x12 + x22 + … + xm2 = n в целых числах x1, x2, … ,xm (решения, отличающиеся порядком корней считаются различными).
Найдите сумму
6. Обращение непрерывности
6.1. О функции
известно, что она является взаимно однозначным отображением (биекцией) множества всех целых чисел на себя, причём 
, если 
.
Пусть f -1 обозначает функцию, обратную f. Можно ли утверждать, что
, если ?
6.2. О функции
известно, что она является биекцией множества всех действительных чисел на себя, и разрывна в каждой точке числовой прямой. Можно ли утверждать, что обратная к ней функция F-1 также является разрывной в каждой точке числовой прямой?
7. Группы чисел
Возможно ли числа 1, 2, 3, 109-1 разбить на 10 групп так, чтобы суммы восьмых степеней чисел в каждой группе были равны?
8. Тригонометрический многочлен
Какое наименьшее количество нулей на сегменте
может иметь функция вида
T(x) = a2012cos32012x + a2011cos32011x + … + a15cos315x?
Здесь a2012, a2011, …, a15 – некоторые действительные числа
9. Стильная облицовка
Пусть m, n и k - некоторые натуральные числа. Для облицовки душевой комнаты размерами m x n x k без пропусков (т.е. будут облицованы стены, пол, потолок и даже дверь) мастер использует белые и черные плитки 1х1.
Облицовка считается стильной, если для нее использовано максимально возможное число черных плиток, такое, чтобы никакие две из них не касались сторонами. Касание углами разрешено, резать плитки нельзя.
Обозначим как F(m, n, k) количество черных плиток, необходимых для стильной облицовки комнаты m x n x k.
9.1. Найдите F(5, 5, 5) и F(2012, 15, 15)
9.2. Исследуйте величину F(m, n, k)
10. Оценка суммы
Пусть x1, x2, …, xn – некоторые действительные числа, причём
.
Докажите, что
Здесь
, {x} = x – [x] – дробная часть числа.
11. Общая касательная
Пусть Е - произвольная точка стороны ВС квадрата ABCD. Докажите, что вписанные окружности треугольников АВЕ, ADE и CDE имеют общую касательную.
12. Шахматный ребус
На диаграмме изображена позиция, которая могла бы произойти в шахматной партии. Одинаковыми буквами обозначены одинаковые фигуры, разными - разные. Белые фигуры обозначены заглавными буквами, а черные - строчными. Всего на доске 14 белых и 14 черных фигур. Расшифруйте позицию.
13. Суммы и биномиальные коэффициенты
Пусть k – заданное натуральное число.
13.1. Найдите такие действительные числа A0(k), A1(k), … , Ak(k), что для всех допустимых действительных значений x верно равенство:
13.2. Для натуральных n>2k найдите сумму
13.3. Докажите существование предела
и найдите его.
14. Правильный тетраэдр
Можно ли правильный тетраэдр разрезать на несколько правильных тетраэдров?
15. Сверхстепени и интересная функция
Для каждого натурально n рассмотрим все возможные выражения вида
, где 
Обозначим через g(n) наибольшее среди таких чисел: g(1) = 1, g(2) = 2, g(3) = 3, g(4) = 4, g(5) = 9, g(6) = 27, g(7) = 512, и т.д. Найдите g(n). Напомним, что башня степеней сворачивается сверху вниз. Например, 
16. Сверхстепени и делимость
16.1. Пусть k – заданное натуральное число. Найдите Dk - наибольший общий делитель всех чисел вида
.
16.2. Докажите, что для каждого натурального а и натуральных n, больших единицы, выражение
делится на n! (двумя вертикальными стрелочками обозначается оператор тетрации).
17. Функциональное уравнение
Для натурального k найдите все такие функции
, которые для любых положительных чисел x1, x2, … ,x2k, произведение которых равно 1, выполняется равенство
18. Уровень жизни и политические технологии
Политтехнологи президента страны Олимпии получили задание убедить избирателей, что ситуация в стране монотонно улучшалась на протяжение всех 5 лет его пребывания у власти. Для этого им дали заполненную натуральными числами таблицу размером 3 х 5 с экономическими показателями P, Q и R за последние 5 лет.
Политтехнологи имеют право некоторые числа в таблице увеличить на 1 (в том числе и ни одного или все) и затем составить "интегральный показатель" aP + bQ + cR, выбирая коэффициенты a, b, c на свое усмотрение. Всегда ли они смогут выполнить задание, то есть сделать так, чтобы придуманный ими интегральный показатель год т года возрастал?
1. Уравнение с целыми частями
Для каждого значения параметра
решите уравнение [a sin x] = [a cos x]
Обозначение [x] означает антье, наибольшее целое число, которое не превышает х.2. Восстановите треугольник
На доске изобразили такой треугольник АВС, что АВ + АС = 2ВС. В нем провели биссектрисы AL1, BL2 и CL3, после чего все вытерли, кроме точек L1, L2 и L3. С помощью циркуля и линейки восстановите исходный треугольник АВС.
3. Игра в шарики
На столе лежат две кучки шариков, в одной их m, а в другой – n штук. За один ход из любой кучки можно взять 1, 2 или 3 шарика. Ваня и Маша делают ходы по очереди, Маша начинает. Выиграет тот, после чьего хода на столе вовсе не окажется шариков.
Кто может обеспечить себе победу (в зависимости от m и n)? Опишите выигрышную стратегию.
4. Разложение на множители
Докажите, что число 44...488...853, в котором 2012 четверок и 2010 восьмерок является составным. Представьте его в виде произведения двух множителей с минимально возможной разностью.
5. О количестве решений диофантового уравнения
Для целого неотрицательного числа n и натурально m обозначим через Sm(n) количество всех решений уравнения x12 + x22 + … + xm2 = n в целых числах x1, x2, … ,xm (решения, отличающиеся порядком корней считаются различными).
Найдите сумму
6. Обращение непрерывности
6.1. О функции
известно, что она является взаимно однозначным отображением (биекцией) множества всех целых чисел на себя, причём , если .Пусть f -1 обозначает функцию, обратную f. Можно ли утверждать, что
, если ?6.2. О функции
известно, что она является биекцией множества всех действительных чисел на себя, и разрывна в каждой точке числовой прямой. Можно ли утверждать, что обратная к ней функция F-1 также является разрывной в каждой точке числовой прямой?7. Группы чисел
Возможно ли числа 1, 2, 3, 109-1 разбить на 10 групп так, чтобы суммы восьмых степеней чисел в каждой группе были равны?
8. Тригонометрический многочлен
Какое наименьшее количество нулей на сегменте
может иметь функция вида
T(x) = a2012cos32012x + a2011cos32011x + … + a15cos315x?Здесь a2012, a2011, …, a15 – некоторые действительные числа
9. Стильная облицовка
Пусть m, n и k - некоторые натуральные числа. Для облицовки душевой комнаты размерами m x n x k без пропусков (т.е. будут облицованы стены, пол, потолок и даже дверь) мастер использует белые и черные плитки 1х1.
Облицовка считается стильной, если для нее использовано максимально возможное число черных плиток, такое, чтобы никакие две из них не касались сторонами. Касание углами разрешено, резать плитки нельзя.
Обозначим как F(m, n, k) количество черных плиток, необходимых для стильной облицовки комнаты m x n x k.
9.1. Найдите F(5, 5, 5) и F(2012, 15, 15)
9.2. Исследуйте величину F(m, n, k)
10. Оценка суммы
Пусть x1, x2, …, xn – некоторые действительные числа, причём
.Докажите, что
Здесь
, {x} = x – [x] – дробная часть числа.11. Общая касательная
Пусть Е - произвольная точка стороны ВС квадрата ABCD. Докажите, что вписанные окружности треугольников АВЕ, ADE и CDE имеют общую касательную.
12. Шахматный ребус
На диаграмме изображена позиция, которая могла бы произойти в шахматной партии. Одинаковыми буквами обозначены одинаковые фигуры, разными - разные. Белые фигуры обозначены заглавными буквами, а черные - строчными. Всего на доске 14 белых и 14 черных фигур. Расшифруйте позицию.
13. Суммы и биномиальные коэффициенты
Пусть k – заданное натуральное число.
13.1. Найдите такие действительные числа A0(k), A1(k), … , Ak(k), что для всех допустимых действительных значений x верно равенство:
13.2. Для натуральных n>2k найдите сумму
13.3. Докажите существование предела
и найдите его.14. Правильный тетраэдр
Можно ли правильный тетраэдр разрезать на несколько правильных тетраэдров?
15. Сверхстепени и интересная функция
Для каждого натурально n рассмотрим все возможные выражения вида
, где
Обозначим через g(n) наибольшее среди таких чисел: g(1) = 1, g(2) = 2, g(3) = 3, g(4) = 4, g(5) = 9, g(6) = 27, g(7) = 512, и т.д. Найдите g(n). Напомним, что башня степеней сворачивается сверху вниз. Например, 16. Сверхстепени и делимость
16.1. Пусть k – заданное натуральное число. Найдите Dk - наибольший общий делитель всех чисел вида
.16.2. Докажите, что для каждого натурального а и натуральных n, больших единицы, выражение
делится на n! (двумя вертикальными стрелочками обозначается оператор тетрации).17. Функциональное уравнение
Для натурального k найдите все такие функции
, которые для любых положительных чисел x1, x2, … ,x2k, произведение которых равно 1, выполняется равенство
18. Уровень жизни и политические технологии
Политтехнологи президента страны Олимпии получили задание убедить избирателей, что ситуация в стране монотонно улучшалась на протяжение всех 5 лет его пребывания у власти. Для этого им дали заполненную натуральными числами таблицу размером 3 х 5 с экономическими показателями P, Q и R за последние 5 лет.
Политтехнологи имеют право некоторые числа в таблице увеличить на 1 (в том числе и ни одного или все) и затем составить "интегральный показатель" aP + bQ + cR, выбирая коэффициенты a, b, c на свое усмотрение. Всегда ли они смогут выполнить задание, то есть сделать так, чтобы придуманный ими интегральный показатель год т года возрастал?
выступает группа диэдра, состоящая из 20-и симметрий и 20-и поворотов (включая тождественный).
- симметрия, ось которой проходит через две бусины, то для 
имеется 
неподвижных конфигураций. Если же ось симметрии не проходит через бусины, для 
неподвижных конфигураций. Значит, вклад симметрий 
.
Итого получаем 
классов 20-угольников. 
бусин, среди которых и 
черных, подсчитывается по формуле 
, суммируя по всем 
, вновь получим 27000. 
интересующее нас число классов равно количеству ожерелий, которые можно составить из n белых и красных бусин, при условии, что никакая красная бусина не окружена белыми. 
(например, при 
получается 799 классов), но общей формулы мне вывести не удалось.
. Но, начиная с 
, эта оценка завышена.
существует подгруппа порядка 253? Привести пример такой подгруппы.
. Поэтому по теореме Силова в подгруппе должен быть элемент порядка 23. Значит, 
.
, состоящая из перестановок 
, имеет порядок 253.
и будем строить перестановку 
такую, что 
.
.
. Тогда при 
имеем: 
. Значит, 
и 
.
. Значит, 
и 
.
. Значит, 
и 
.
. Значит, 
и 
.
.
и 
- простые числа. С помощью теоремы Силова легко доказывается, что, если 
не сравнимо с 1 по модулю 
, то группа порядка 
циклическая. Такая группа может быть реализована перестановками множества, состоящего не менее, чем из 
элементов.
. Подробности можно найти, например, в книжке М.Каргаполов, Ю.Мерзляков. "Основы теории групп" 
) получают по 2 призовых балла.