Решения задач 5

Задача 16
Перебор даёт множество таких четвёрок, к примеру, 2, 3, 4, 5 или 1758, 1759, 1760, 7161

Задача 17
Поскольку и 3+10+15=28, то тройка (3, 10, 15) будет решением исходного уравнения.

Задача 18
AlexAlkin (nazva.net) предлагает следующее решение:

Пошагово будем отнимать общие целые части дробей слева и соответственно справа от искомой дроби. После дроби переворачиваем и процедуру повторяем.
Итак





























Здесь слева число, большее единицы, а справа – меньшее.
Единственным натуральным числом между числами и будет число 1.

Тогда будет иметь место система уравнений:
41m - 71n = 1
26n - 15m = 1
которая даст нам искомые m=97 n=56 и соответственно дробь с наименьшим знаменателем удовлетворяющая условию

Призовые баллы получают:

Николай (smekalka.pp.ru) - 5
sek140675 (nazva.net) - 5
Семён Знаковян (*ALEX ALKIN*, nazva.net) – 8
Alexisto - 9

Условия задач 5

Задача 16. Про простые числа. Берем 4 последовательных числа: 8, 9, 10, 11 и производим с ними следующие операции:

8*9 -1 =71

9*10-1=89

10*11-1=109

11*12-1=131

Результатами будут четыре простых числа.

Найдите ещё хотя бы одну четвёрку чисел с таким свойством.

Задача 17.

Найдите 3 натуральных числа a,b,c таких, что

Задача 18

Найите наименьшее натуральное n для которого существует такое натуральное m, что

 Задачи прислали:

16 – Николай (smekalka.pp.ru)

17 – sek140675 (nazva.net)

18 – Семён Знаковян (*ALEX ALKIN*)

Решения принимаются как минимум до 2 апреля

Условия задач 4

Задача 11. Сумма 10-ти различных натуральных чисел равна 2010, Какое набольшее значение может принимать сумма трёх наименьших из них?

Задача 12.
Решите в целых числах уравнение:


Задача 13.
Представьте число 13 в виде суммы трёх дробей, так, чтобы


Задача 14.
Вот целый ряд квадратов чисел. Что в них есть общего? (Общее свойство очень красивое)

419², 929², 1639², 2549², 3659², 4969²

Задача 15.
На столе лежат в открытую 12 карт: 4 туза (оценивается в 1 очко), 4 двойки и 4 тройки.
Игроки по очереди берут карты со стола и складывают в отдельную стопку, одновременно подсчитывая количество очков в ней. Проигрывает тот, после чьего хода в стопке окажется более 21го очка. Кто выиграет при правильной игре и какова выигрышная стратегия?

Задачи 11 и 12 прислал Семён Знаковян (*ALEX ALKIN*)
Задачи 13 и 14 прислал Вован (nazva.net)

Решения принимаются до 20:00 28 марта

//Поправка: при выставлении сроков не учёл, что 28е - это воскресенье, так что продлю до вечера понедельника - как раз сейчасрешения активно приходят.