Разбор задачи ММ142 Математического Марафона

======= 142 ========

ММ142 (4 балла)

Все 80 натуральных делителей натурального числа n расположили в порядке возрастания.
Оказалось, делители с первого по четвертый образуют геометрическую прогрессию,
делители с четвертого по седьмой - арифметическую прогрессию,
а восьмой делитель меньше 200. Найти n.
====================

Решение

Первые 4 делителя обязаны иметь вид:
Учитывая, что 8-й делитель меньше 200, имеем

Пусть Тогда первый член арифметической прогрессии, которую образуют делители с 4-го 7-й, равен 8.
Разность прогрессии d не может быть четна, как в этом случае 6-й делитель равен 24. Но это невозможно, поскольку 3 не является делителем.
Если разность прогрессии нечетна, тогда 5-й делитель - наименьший нечетный простой делитель n.
Поскольку меньше, 6-й делитель равен 16. Но тогда 5-й равен 12, что невозможно.
Итак, p не равно 2.

Пусть . Тогда все делители n нечетны и d обязано быть четным.
7-й делитель - кратен 3. Поэтому либо где либо
Легко проверить, что оба случая невозможны.

Остается случай Тогда 4-й делитель равен 125, а делители с 5-го по 7-й ( и ) должны быть простыми.
Из последнего следует, что d обязано быть кратно 6. Если , то 8-й делитель больше 200.
Итак
Поэтому d не может равняться 6 и 18.
Поэтому d не может равняться 12.
При получаем три простых делителя 149, 173 и 197.
Для восьмого делителя, который меньше 200, остается одна возможность - 199.

Итак, мы уже имеем 5 различных простых сомножителей n. один из которых входит в разложение n не менее, чем в 3-й степени.
Это дает не менее делителей.
Если у n найдется еще один простой делитель или еще один из имеющихся делителей будет в ходить в разложение n в степени выше 1-й, общее число делителей превысит 80.
Остается единственная возможность

Обсуждение

Задача не вызвала затруднений у участников. С ней успешно справились 15 человек (второй результат в истории Марафона).

Награды

За правильное решение задачи ММ142 Анатолий Казмерчук, Виктор Филимоненков, Алексей Волошин, Сергей Половинкин, Николай Дерюгин, Дмитрий Пашуткин, Андрей Халявин, Евгений Машеров, Кирилл Веденский, Александр Ларин, Евгений Гужавин, Галина Крюкова. iPhonograph, Sirion и Umnik получают по 4 призовых балла.

Эстетическая оценка - 4.3 балла

Разбор задачи ММ142 подготовил Владимир Лецко

Разбор задачи ММ141 Математического Марафона

======= 141 ========

ММ141 (3 балла)

Существуют ли натуральные числа такие, что ( - сумма натуральных делителей числа .)

===============

Решение

Проще всего найти подходящее число, взяв достаточно большое (больше ) простое число так, чтобы тоже было простым. Тогда в качестве подойдет .
Наименьшее подходящее . Тогда , и .

Обсуждение

Не обязательно добиваться простоты числа . Достаточно, чтобы оно не имело малых простых делителей.
Например, iPhonograph взял . Тогда и .
Эта идея - использовать отсутствие малых множетелей вместо простоты - позволила Андрею Халявину доказать то, что, по сути, было очевидно и остальным участникам. А именно: для любого найдутся натуральные такие, что .
В самом деле, большинству участников (и ведущему) представляется очевидным, что существует бесконечно много простых таких, что тоже просто. Но "представляется очевидным" - не доказательство.
Андрей же доказал, что для каждого достаточно большого простого числа найдется показатель степени (ну очень большой!) такой, что не имеет малых делителей. И отсюда получить требуемое утвержденеие.

Гораздо более интересной, чем ММ141 является такая задача: Существуют ли натуральные числа такие, что
Но эту задачу мне решить не удалось. Ясно, что необходимым (но недостаточным) условием является существование такого натурального что числа - нечетны.
Единственный извесстный мне нетривиальный пример дает число .

Награды

За правильное решение задачи ММ141 Алексей Волошин, Сергей Половинкин, Николай Дерюгин, Евгений Гужавин, iPhonograph, Sirion и Анатолий Казмерчук получают по 3 призовых балла. За правильное решение более общей задачи Андрей Халявин получает 5 призовых баллов. За верные идеи (не доведенные до конца) Александр Ларин и Кирилл Веденский получают 2 и 1 балл, соответсвенно.

Эстетическая оценнка задачи 4 балла

Разбор задачи ММ141 подготовил Владимир Лецко