Третья открытая Интернет-олимпиада по математике

Математический Марафон - регулярный конкурс, который уже несколько лет проводит Владимир Лецко (VAL). Сейчас мы объединили усилия и приглашаем принять участие в Третьей открытой Интернет-олимпиаде по математике - XIII туре Математического Марафона.

Приветствуются все, кто любит поломать голову над нестандартными задачами! 

Вырази группу чисел

Очень интересный математический конкурс придумал CD_Eater (sciteclibrary.ru).

Правила игры "Вырази группу чисел"
Команда (или человек)-загадчик пишет несколько чисел. Разгадчик должен выразить эти числа арифметическими операциями, используя один и тот же набор цифр. Каждая цифра из набора должна входить в выражение ровно один раз. Чем меньше цифр в наборе - тем лучше.
Разрешены операции: плюс, минус, умножить, разделить, степень, корень, факториал (самый обычный, школьный), скобки.

Пример задачи: дана тройка чисел 90, 122, 165.
Пример ответа на задачу: эти числа можно получить, используя три цифры: 3,3,5
165 = 33*5
122 = 53-3
90 = 3*3!*5
Если при подведении итогов выяснится, что команда-загадчик знает как обойтись двумя цифрами, то она выиграла.

Вот задачка "на разогрев":
81, 120, 216, 360

Условия задач 6

Задача 19
Сравните

и
 .

Задача 20
Существуют ли числа, большие числа 36, являющиеся одновременно квадратами и треугольными?

Задача 21
Разложите многочлен x⁴+1 на множители с действительными коэффициентами

Задача 22
Сколько существует натуральных чисел n меньших 10000, для которых 2ⁿ-n² делится на 7,

Задачу 19 прислал Семён Знаковян, Задачу 20 – Сергей Кузнецов, Задачу 22 - Наталия Макарова

Решения принимаются, как минимум, до 20:00 14 апреля

Условия задач 4

Задача 11. Сумма 10-ти различных натуральных чисел равна 2010, Какое набольшее значение может принимать сумма трёх наименьших из них?

Задача 12.
Решите в целых числах уравнение:


Задача 13.
Представьте число 13 в виде суммы трёх дробей, так, чтобы


Задача 14.
Вот целый ряд квадратов чисел. Что в них есть общего? (Общее свойство очень красивое)

419², 929², 1639², 2549², 3659², 4969²

Задача 15.
На столе лежат в открытую 12 карт: 4 туза (оценивается в 1 очко), 4 двойки и 4 тройки.
Игроки по очереди берут карты со стола и складывают в отдельную стопку, одновременно подсчитывая количество очков в ней. Проигрывает тот, после чьего хода в стопке окажется более 21го очка. Кто выиграет при правильной игре и какова выигрышная стратегия?

Задачи 11 и 12 прислал Семён Знаковян (*ALEX ALKIN*)
Задачи 13 и 14 прислал Вован (nazva.net)

Решения принимаются до 20:00 28 марта

//Поправка: при выставлении сроков не учёл, что 28е - это воскресенье, так что продлю до вечера понедельника - как раз сейчасрешения активно приходят.