Джунгли задач на движение

Чтобы занять область, нужно решить 1 задачу:


Задача 10
Сфера поделена на государства, и границами служат 17 больших кругов этой сферы. Ни в одной точке не граничат более 4 государств. Путешественник утверждает, что объехал все государства наземным транспортом, побывав в каждом по одному разу и не проезжая точки, где граничат какие - либо 4 государства. Могло ли так быть?

К карте математического острова

Решенные задачи:

Задача 1. Два лыжника двигались со скоростью 12 км/ч. При входе на сложный участок их скорость уменьшилась до 8 км/ч. Когда оба лыжника оказались на сложном участке, расстояние между ними составило на 300 метров меньше изначального. Каким было изначальное расстояние между лыжниками?

Задача 2. Туристы пошли в похол. На указателе в деревне было написано, что до места назначения осталось 2 часа 55 минут пешим ходом. Из этой деревни они вышли в 12-00. В 13-00 они устроили 15-минутный привал и увидели другой указатель, согласно которому до места назначения остаётся 1 час 15 минут ходьбы пешком. После привала они продолжили путешествие с той же самой скоростью и шли без остановок. В котором часу туристы добрались до места назначения?

Задача 3. В подсобном помещении 2х4 метра устроили ремонт. Вдоль одной из длинных стен по полу был прикреплён 4-метровый короб для проводов шириной 6 см. Оставшуюся площадь пола выложили плиткой. В наличии было два вида квадратной плитки со сторонами x см и y см. Причём длины сторон плиток были целыми сантиметрами. На выкладку пола было потрачено ровно 125 плиток одного вида и ровно 114 плиток другого вида. Назовите все возможные размеры плиток, подходящих под условие.

Задача 4. Вычислите

Задача 5

Мастер спорта даёт сеанс одновременной игры в шахматы на нескольких досках. За первые два часа он выиграл P% всех партий и проиграл L партий. За следующие два часа он выиграл Q% остальных партий, M партий проиграл и N партий закончились вничью. Сколько игр сыграл мастер?

Задача 6

Имеются купюры номиналом 1, 10, 100 и 1000 рублей. Сколько существует способов получить миллион рублей из двух тысяч купюр?

Задача 7

К некоторому числу прибавили сумму его цифр. С результатом проделали то же самое. Всего операцию проделали 5 раз и получили 1000. Назовите изначальное число и приведите метод его нахождения, не являющийся грубым перебором.

Задача 8

Формула-1 впервые проводится в Москве , по развязке МКАДА с Рублевкой (картинка в виде 4х кривых клеверных листиков).Осмотрев трассу, гонщик Шухерман представил ее приближенно как сопряжение дуг окружностей и забил в бортовой компьютер следующий закон движения: стараться,чтобы скорость (в футах/сек) была численно равна радиусу проходимой окружности в метрах.. Оцените результат Шухермана на круге (между двумя соседними прохождениями точки старта)

Задача 9

Посади олигарха.Городок имеет форму прямоугольника 4х6 км. Данные слежения за олигархом Жульманом и его автомобилем в течение последней недели:

1.Пробег автомобиля 2517 км.

2.Сумма модулей всех углов поворота стрелки компаса ,закрепленного на приборной панели автомобиля, 2010 румбов (1 румб=.

3.Автомобиль в отсутствие в нем Жульмана не передвигался.

4.Движение задним ходом не применялось.

К сожалению, аппаратуру, снимавшую другие данные, олигарх сумел вывести из строя.

Можно ли на основании этих данных доказать, что Жульман нарушил подписку о невыезде из городка?

Приведите речь эксперта обвинения. если да, и адвоката, если нет. На презумпцию особо не надейтесь.

Долина математических игр

Чтобы занять область, нужно решить задачу:

Задача 8
Волк гоняется за зайцем на круглой арене. Максимальные скорости их одинаковы. Сможет ли Волк поймать Зайца?

К карте математического острова

Решенные задачи:

Задача 1. Абориген и Турист сидят на берегу и по очереди берут ракушки из кучи. За один ход можно взять 1, 3 или 7 ракушек, выигрывает тот, кто забирает последнюю. Начинает Абориген, который знает выигрышную стратегию. Каковы шансы у Туриста на победу, если он делает ходы случайным образом, а вначале в куче 2010 ракушек?


Задача 2. В куче лежит N камней. Турист и Абориген поочерёдно берут оттуда по число камней, являющееся степенью четырёх (1, 4, 16, 64 и т.д.). Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Начинает Турист. Каждый игрок играет наилучшим для себя образом и не делает ошибок.

Найдите общий вид чисел N, при которых партию выиграет Абориген.

Задача 3

Сколько существует 2010-значных натуральных чисел, которые делятся на 7 при любом порядке своих цифр?

Задача 4

Найти уравнение с целыми коэффициентами, имеющее корень 

Задача 5

a + b + c = 2010 (a,b,c - целые) Найти остаток от деления a³ + b³ + c³ на 6

Задача 6
Абориген и Турист сидят на берегу и по очереди берут ракушки из кучи. За один ход можно взять 1, n или 7 ракушек, выигрывает тот, кто забирает последнюю. Вначале розыгрыша в куче M ракушек.

Игра заключается в том, что сначала игроки называют числа M, n
Может ли Абориген назвать такое число M, что какое бы n ни назвал Турист, начиная Турист обязательно проиграет.

Задача 7

Утка плавает по круглому озеру со скоростью 2, лиса бегает со скоростью 9 по берегу. Сможет ли оказаться в некоторой точке берега раньше лисы?

Квадратный пляж

Область на 13 ходу занял Евгений. Возводятся укрепления.

Игра завершена, но предлагаю в ходе AfterParty рассмотреть 3 задачи от Евгения:
Задача 8
В выпуклом многоугольнике все углы равны и последовательные стороны образуют неубывающую последовательность. Доказать, что многоугольник правильный.

Задача 9
На плоскости дана прямоугольная система координат. Доказать, что все координаты вершин правильного шестиугольника не могут быть целыми числами.

Задача 10
На прямой находятся паук и муха. Максимальная скорость паука вдвое больше максимальной скорости мухи, но он ничего не знает о местоположении мухи до тех пор, пока они не окажутся в одной точке. Сможет ли паук догнать муху?

К карте математического острова

Решённые задачи:

Задача 1. На сторонах BC и CD квадрата ABCD даны точки K и M соответствено так, что ВK=KC, CM=2DM. Найдите угол MAK

Задача 2. Плоскость замостили квадратами двух типов, как изображено на рисунке. Сторона меньшего квадрата равна b, а большего - а. Угол между прямыми, изображенными пунктиром равен 30 градусов. Чему равно отношение а:b?

Задача 3 Некоторое 26-значное натуральное число abc...xyz умножили на 9 и получили инверсное ему число zyx...cba. Назовите это число.

Задача 4. На рисунке изображены три полуокружности радиуса 2. Точки A и B расположены в точности над центрами E и F двух нижних полуокружностей. Чему равна площадь закрашенной фигуры?

Задача 7

В центре О квадратного загона находится заяц, скорость которого 1. К загону по двум парам смежных сторон примыкает два соседних , в каждом из которых бегает по 1 собаке, скорости каждой корень из 2, и в начальный момент расположились наиболее выгодным для себя образом. Изгородь загонов проходима для зайца, но непроходима для собак. Сможет ли заяц вырваться за пределы загона? Укажите стратегию победителя

Задача 5

В центре квадратного загона находится заяц, скорость которого корень из 2. В соседних 4-х загонах бегают по 3 собаки, скорости каждой 1, и в начальный момент расположились наиболее выгодным для себя образом. Изгородь загонов проходима для зайца, но непроходима для собак. Сможет ли заяц вырваться за пределы загона? Укажите стратегию победителя

Задача 6

Каждый угол квадратного листа площади 1 загнули одинаковым образом, так, что получился новый квадрат площади s=0,72. Найти площадь «однослойной» части нового квадрата ( в виде дроби)

Функциональные равнины

Чтобы занять область, нужно решить задачу:

Задача 8

Про функцию c₁+c₂2^x+c₃3^x+...+c₂₀₁₀2010^x известно, что она обращается в 0 при 2010 различных значениях х. Найти коэффициенты c₁,...,c₂₀₁₀

К карте математического острова

Решенные задачи:

Задача 1. Для функции f(x), определённой для всех ненулевых аргументов, выполняется yf(xy)=f(x) для любых x, y из её области определения. Если f(30)=20, то чему равно f(40)?

Задача 2. Виталик сложил числа дней и числа месяцев дат рождения всех своих друзей и получил 35. Даты рождения его друзей различны. Какое наибольшее возможное количество друзей у Виталика?

Задача 3

A,B,C,D - последовательные вершины правильного семиугольника со стороной a. X - точка пересечения AC и BD. AX=b. Найти AD (и записать в максимально короткой форме)

Задача 4

Бильярдист из бильярдных шаров выложил квадрат, а потом из этих же шаров выложил равносторонний треугольник. Количество шаров в стороне квадрата и треугольника отличаются на 2. Сколько у бильярдиста было шаров?

Задача 5

У каждого из чисел от 1 до 999999 посчитали суммы цифр. В получившемся ряду опять посчитали суммы цифр. И т.д. пока в ряду не остались только однозначные числа. Получившиеся числа соединили в 999999-значное число и разделили на 9. Чему равен результат?

Задача 6

Назовём прямоугольный параллелепипед хорошим, если его можно разрезать на два равных прямоугольных параллелепипеда. Сколько существует хороших прямоугольных параллелепипедов, имеющих грань 2x6?

Задача 7

Найти предел при n, стремящемся к бесконечности, последовательности 

где x₀=a, x_n=sin x_n-1

Задача 9

Шириной многоугольника называется максимум расстояний между его произвольными точками. Правильный 2010-угольник со сторонами, равными 1, имеет ширину

  

Привести пример выпуклого  2010-угольника со сторонами, равными 1, имеющего ширину еще меньше.

Табличная бухта

К карте математического острова

Чтобы занять область, нужно решить 2 задачи:


Задача 9
Угадайте сколько в моём альманахе страниц (нумерация с 1 без ведущих нулей) при условии:
Если посчитать количество цифр в номерах страниц, то их будет 333.
Если посчитать количество троек в номерах страниц, то их будет 333.

Задача 10
Некоторая функция определена для всех натуральных аргументов 100000<=X<=999999.
Вот некоторые её значения:
f(100000)=40
f(384891)=85
f(418703)=32
f(504704)=67
f(619919)=0
f(827190)=3
Найдите все возможные аргументы функции, при которых она имеет максимальное значение, если известно, что минимальное её значение = 0. Также известно, что в значениях функции не может быть цифры 1.
UPD 9.11.10:
Ещё 5 значений на сгенерированные случайным образом аргументы:
f(291214)=22
f(191015)=2
f(245269)=30
f(907204)=4
f(672197)=70
Кроме отсутствия единиц известно также, что в значениях не более двух цифр.


Решённые задачи

Задача 1. Прямоугольник размерами 2012х2010 раскрашен так, как показано на рисунке (каждый закрашенный прямоугольник имеет размер 1х3). Чему равна площадь закрашенной части?

Задача 2. Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, …записываются в клетки бесконечного листа по спирали, начиная с отмеченной клетки. Какая цифра будет стоять на 100 клеток выше отмеченной?

	1	2	3	4	5	1
	5	2	3	4	5	2
	4	1	1	2	1
	3	5	4	3	2
	2	1	5	4	3

Задача 3. abbc, cdde, faeecfac - натуральные числа. a,b,c,d,e,f - различные цифры, составляющие эти числа. Найдите все возможные решения уравнения abbc*cdde=faeecfac

Задача 4. Найти все значения х, удовлетворяющие уравнение acx²-(ad+bc)x+bd=0, где ac=1, bd=4, a+b=10²⁰¹⁰, c+d=10^-2009

Задача 5

Привести пример заполнения действительными числами таблицы 5*5 такой,что:

1)произведение чисел в любой строке равно 1

2)произведение чисел в любом столбце равно 1

3)произведение чисел в любом из 9 квадратов 3*3 внутри данной таблицы равно 2

Задача 6

Прямоугольная таблица 16*5 раскрашена в три цвета. Всегда ли найдется прямоугольник со сторонами .параллельными краям таблицы, и вершинами одного цвета?

Задача 7
В квадратной таблице 6*6 расположены числа 1,2,..36 так, что сумма двух соседних (имеющих общую сторону) чисел не превосходит S. Найдите наименьшее S , при котором это возможно, и как.

Задача 8

Доказать, что такую последовательность равенств можно продолжать бесконечно:

1 + 2 = 3

1*2 + 2*3 + 3*4 = 4*5

1*2*3 + 2*3*4 + 3*4*5 + 4*5*6 = 5*6*7

...

Параболическая оконечность

Чтобы занять область, нужно решить 3 задачи:
Задача 7
Кубическая парабола y=x³+ax²+bx+c касается как параболы у=х², так и параболы у=х²+1. При этом плоскость делится на несколько областей, ровно 2 из которых ограничены. Какие значения может принимать отношение их площадей?

Задача 8
На плоскости дана произвольная парабола. Из точки А снаружи параболы проведены к ней касательные AP и AQ (что означает, что точки P и Q лежат на параболе). На прямой PQ взята вне параболы точка В, из нее проведены касательные ВМ и ВN. Доказать, что точка А лежит на прямой MN.

Задача 9
Кубическая парабола вида y=ax³+bx²+cx+d пересекает ось х в трех точках, координаты двух самых правых (m,0) и (n,0) известны. Из третьей точки пересечения проведена касательная к параболе. Найти выражение х-координаты точки касания через m,n

К карте математического острова

Решённые задачи:

Задача 1. Найдите все значения k, при которых прямая касается параболы ?

Задача 2. Ордината вершины параболы равна -7. Какое наибольщее число целых чисел может находиться между корнями уравнения  ?

Задача 3 Три окружности с радиусами 1, 2, и 3 попарно касаются друг друга внешним образом. Найти длину большей дуги наименьшей окружности, ограниченной точками касания

Задача 4 Основание дома - прямоугольник 4м x 6м. На улице к одному из углов дома привязали собаку на веревку длинной 10м. Найти площадь участка по которому может гулять собака

Задача 5 Разница площадей двух квадратов равна 2011. Назовите длины сторон квадратов.

Задача 6

Лягушка прыгает по координатной плоскости. Каждый прыжок параллелен одной из координатных осей и имеет длину 1. Сколько на плоскости точек, в которых лягушка может оказаться, сделав ровно 10 прыжков

Хребет Натуральных чисел

Чтобы занять область, нужно решить 3 задачи:
Задача 7
Даны шесть одинаковых по размеру кубиков разного веса: 1, 2, 3, 4, 5 и 6 грамм. Hа кубиках написаны числа от 1 до 6. Требуется с помощью чашечных весов (без гирь) доказать или опровергнуть утверждение: "Числа на кубиках соответствуют их весу в граммах". За какое минимальное количество взвешиваний это можно сделать (и как)?
Весы не отрегулированы, взвешивать на равенство весов нельзя, но разницу в весе в хотя бы в 1 грамм покажут верно.

Задача 8
Найти последние 3 цифры числа

(в последнем множителе 2010 троек)

Задача 9
Дана функция f(x)=x²+6x+6
решить уравнение:
f(f(f( ... f(x) ... )))=0
Взятие функции происходит 2010 раз.

К карте математического острова

Решенные задачи:

Задача 1. Для скольких натуральных чисел n от 1 до 1000 включительно число 2nⁿ является кубом натурального числа?

Задача 2. В сейфе хранится несколько колье. В каждом из них одинаковое количество бриллиантов (больше одного). Если бы было известно общее количество бриллиантов в сейфе, то можно было бы однозначно определить, сколько в нём колье. Сможете ли вы узнать это, если мы вам скажем, что бриллиантов в сейфе от 200 до 300?

Задача 3

Сколько существует наборов из 6 рациональных чисел a,b,c,d,e,f таких, что

Задача 4

Продолжить последовательность чисел 1, 21, 31, 34, 41, 43, ...

//По традиции оценивания задач на последовательности, засчитываются и не совпадающие с загаданным правила, если те не используют для своего вывода всех известных членов (аппроксимация многочленом 5-й степени - не решение).

Задача 5

В начале дана дробь  . Умножим числитель и знаменатель на удвоенный числитель и вычтем из нового числителя единицу, будем повторять эту операцию многократно. К какому числу будет стремиться дробь?

Задача 6

В треугольнике АВС угол В - прямой. На гипотенузе АС отметили точку О. Через точку О провели прямую КО, где КО||ВС, К лежит на АВ. Через точку О провели также прямую МО, где МО||АВ, М лежит на ВС. Где должна быть отмечена точка О, чтобы длина отрезка КМ была наименьшей?

Мыс Простых чисел

Чтобы занять область, нужно решить 2 задачи:
Задача 12
Найти наименьшее натуральное число, которое тремя способами представляется в виде разности квадратов двух соседних простых чисел. Например,72=11²-7²=19²-17² представляется только двумя способами

Задача 14

Турист и Абориген продолжают играть в ракушки
Туристу никак не удается выиграть и он придумывает новые условия:
Пусть будет так - за один ход можно взять 1, N₁ или N₂ ракушек, выигрывает тот, кто забирает последнюю. В начале розыгрыша в куче M ракушек,

Ты называешь число M<500, а я после этого N₁ и N₂. Далее ты ходишь первым.
Абориген немного подумал и сказал - хорошо, только N₂<12 и еще я назову число A, которое ты не сможешь выбрать как N₂.
Турист согласился.
Какие M и A нужно выбрать Аборигену, чтобы выиграть и на этот раз?


К карте математического острова

Решенные задачи:

Задача 1. Назовём тройку простых чисел особенной, если их произведение впятеро больше суммы. Сколько существует таких особенных троек?

Задача 2. Вася задумал некоторое натуральное число, возвёл его в шестую степень, а затем выписал в порядке возрастания все цифры полученного числа. Получилась запись 0, 2, 3, 4, 4, 7, 8, 8, 9. Какое число задумал Вася?

Задача 3. Число X - натуральное 10-значное число, в котором все цифры различны, и делящееся на 36. Назовите наименьшее число, удовлетворяющее условию.

Задача 4

Найти все простые числа p такие, что 2^p+2010 делится на р

Задача 5

Сколько существует простых чисел в бесконечной последовательности

1+1

1+1+(1+2)

1+1+(1+2)+(1+2+3)

1+1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)

Задача 6

Является ли простым число

Задача 7

В результате драки с вашим коллегой за листок с магическим квадратом 6х6 (сумма равна для всех вертикалей, горизонталей и обеих диагоналей), состоящим сплошь из не повторяющихся простых чисел, у вас в руках остался обрывок, содержащий:
  3 | 5 | 47 | 109 | 131
 89 | 73| 53 | 97
151 |167| 83
 71 |41
 17
Но вам и этого хватит, для восстановления квадрата , правда?

(в ответе, кроме слова "да", хотелось бы увидеть любой, удовлетворяющий условиям, магический квадрат)

Задача 8

Заполните правильно пропуски:

?, 15, 21, ?,27, 35, ?, 45, 51, ?, 57, 65, ?, 75

//По традиции оценивания задач на последовательности, засчитываются и не совпадающие с загаданным правила, если те не используют для своего вывода всех известных членов

Задача 9

Население страны ежегодно уменьшается на 1/70. Через сколько лет население страны станет вдвое меньше?

Задача 10

Найти наименьшее число, записываемое одними единицами, которое делилось бы на 333…3 (сто троек).

Задача 11

Мяч, ударяясь о землю, отскакивает и поднимается на 2/3 высоты, с которой падал. Если в первый раз он упал с высоты 8.1 м, то после скольких отскакиваний он поднимется на 1.6 м?

Задача 13

Из бесконечной последовательности

1,

1+(1+2),

1+(1+2)+(1+2+3),

1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4), ...

выбрать бесконечную подпоследовательность, все числа которой попарно взаимно просты.

Геометрические фьорды

Область на 12 ходу заняла Назва. Возводятся укрепления.


К карте математического острова

Решённые задачи:

Задача 1. Равнобедренный треугольник, ромб и квадрат имеют равную площадь. Основание треугольника равно стороне квадрата и меньшей диагонали ромба. Расположите периметры этих фигур в порядке возрастания

Задача 2. Квадратный лист бумаги со стороной 10см согнули так, что одна его вершина попала на сторону, не смежную с ней. Найдите с точностью до 0, 1 мм такое положение этой вершины, чтобы площадь фигуры, покрытой двумя слоями бумаги была минимальной

Задача 3

У произвольно расположенного на плоскости квадрата на четырех его сторонах отметили точки M,N,K,P, потом сам квадрат стерли. Восстановить квадрат.

Задача 4

У прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 найти расстояние между точкой пересечения биссектрис и точкой пересечения медиан.

Задача 5

Точки D и Е расположены на стороне АС треугольника АВС. Прямые ВD и ВЕ разбивают медиану АМ треугольника АВС на три равных отрезка. Найдите площадь треугольника DEB, если площадь треугольника АВС равна 1.

Чтобы занять область, нужно решить 3 задачи:

Задача 6

Необходимо с помощью циркуля и линейки построить крест, равный по площади фигуре месяца. Крест - обычный, из пяти равных квадратов. Месяц представляет из себя фигуру, вырезанную из меньшей окружности большей как показано на рисунке.

Диаметры окружностей относятся как 1 к корню из двух

Задача 7

Имеется куб со стороной 3 и плоскость-нож, которой можно отделять части куба, проводя разрез в этой плоскости. Чтобы разделить куб на 27 единичных кубиков, не сдвигая его с места, очевидно потребуется 6 разрезов. Найти минимальное количество разрезов (необходимых для разделения куба на 27 единичных), если учесть, что после каждого можно менять расположение частей в пространстве.

Задача 8

Набор белых шахмат привычно выстроился на поле боя... а черных фигур нет!

Пока противник опаздывает, у вас есть 21 ход, чтобы поставить под бой как можно больше пустых клеток. Напишите последовательность своих ходов и докажите, что количество атакованых вами пустых клеток (на момент после 21 хода) максимальное, которого можно достичь за это время.

Задача 9

Шириной многоугольника называется максимум расстояний между его произвольными точками. Правильный 2010-угольник со сторонами, равными 1, имеет ширину

  

Привести пример 2010-угольника со сторонами, равными 1, имеющего ширину еще меньше.

Задача 10

Из шахматной доски 8*8 вырезано с углов по квадрату 2*2.Король обошел оставшиеся клетки по замкнутой ломаной без самопересечений, побывав в центре каждой 1 раз. Какова наибольшая длина его пути, если принять сторону клетки за 1

Задача 11

Разрезать правильный шестиугольник отрезками прямых на 6 частей, из которых сложить правильный треугольник той же площади

Цифровое нагорье

К карте математического острова

Чтобы занять область, нужно решить 3 задачи:

Задача 11

В однокруговом шахматном турнире (каждый участник играет со всеми по одной партии) участвовали только гроссмейстеры и мастера. После окончания турнира выяснилось, что каждый из участников половину своих очков набрал в партиях против мастеров. Укажите все возможные значения количеств мастеров и гроссмейстеров, участвовавших в турнире. Что можно сказать про общее число участников?

Система начисления очков - традиционная, 1 за победу и 0,5 за ничью.

Задача 12
На шахматной доске 8Х8 достаточно 5 ферзей, чтобы взять под контроль все пустые поля доски. Каково минимальное число ферзей может взять под контроль все пустые поля доски 10Х10?

Задача 13
Каково минимальное число ладей нужно расставить на трехмерной шахматной доске 8Х8Х8 так, чтобы все свободные клетки были под боем? Приведите формулу для количества ладей на доске nXnXn и алгоритм их расстановки.
3-мерная ладья бьёт по трём взаимно перпендикулярным направлениям.

Решённые задачи:

Задача 1. Трёхзначное число нацело разделили на 9, и сумма цифр его уменьшилась на 9. Сколько существует трёхзначных чисел с таким свойством?

Задача 2. Найдите число, десятичная запись которого состоит из чётного количества цифр, и которое увеличится в 6 раз, если его запись разбить на 2 равные части и поменять их местами

Задача 3: В половину окружности вписан квадрат со стороной a. Найти площадь квадрата, вписанного в окружность того же радиуса.

Задача 4: Чему равна сумма

Задача 5

Составить число 32 из цифр 2,0,1,0 (не меняя порядок), знаков 6 математических действий ,взятия целой части и факториалов, подобно как

Задача 6

Некто ходит по городу из прямоугольных кварталов, ориентированных по сторонам света. Каждый раз, когда он проходит квартал на север, он платит доллар. На юг –получает доллар. На восток- платит столько рублей, сколько у него в кармане долларов. На запад- получает столько рублей, сколько у него в кармане долларов. Обмена валют нет.

Учитывая что в конце прогулки Некто должен вернуться домой, предложите его супруге быстрый способ определить по карте маршрута изменение содержимого его карманов. (Т.е. быстрее, чем просмотр маршрута перекрёсток за перекрёстком и выполнения соответствующих действий. Начальная сумма денег супруге известна)

Задача 7

Дано 10-значное число, все цифры в котором различны.

Число делим на 2, получаем 9-значное частное, теперь делим на 9, получаем 8-значное число. И в 8 и в 9-значном числах все цифры различны. В 8-значном числе нет цифры 9, припишем к нему справа эту цифру. Получим полный квадрат.

Найти исходное 10-значное число.

Задача 8

3-мерный углогрыз, когда ему попадается куб, отгрызает от него угловой кубик (длина стороны съеденного кубика вдвое меньше чем у исходного куба).

Разделите получившееся тело на 8 одинаковых частей.

Задача 9

Докажите, что если число xyz делится на 37 нацело, то и числа yzx и zxy тоже делятся на 37.

P.S. Перебор всех трехзначных чисел, делящихся на 37 как доказательство не принимается.

Задача 10

Найти минимальное n>=4, при котором на плоскости можно расположить n равных эллипсов таким образом, чтобы никакие два эллипса не пересекались и каждый эллипс касался бы трёх других. Доказать возможность или невозможность такого расположения.

Берег уравнений

Чтобы занять область, нужно решить 1 задачу:


Задача 7
Найти наибольшее значение выражения

при всевозможных положительных значениях переменных x₁, ... x_n, либо наилучшую ограничивающую его величину, если наибольшее значение недостижимо.

К карте математического острова

Решенные задачи:
Задача 1. 11 девочек и n мальчиков собрали вместе n²+9n-2 грибов. Все дети нашли грибов поровну. Кого больше: мальчиков или девочек и на сколько?

Задача 2. Сколько решений имеет уравнение |x-|x-|...x-|x-1|...|||=1 (уравнение содержит 2010 модулей)?

Задача 3 Квадрат со стороной 2010 разбит квадратной сеткой единичного шага. Найдите размеры прямоугольника с наибольшей разницей сторон, который в данной сетке встречается миллион раз.

Задача 4

Про натуральное число m известно, что в десятичной записи числа m³ не менее 5 цифр, а в записи числа m⁸ не более 11 цифр. Сколько цифр в записи числа m²⁴?

Задача 5

Найти все решения уравнения

Задача 6

В примере несколько цифр заменены звездочками

113*4-1*05=*5*

Верните пример к исходному виду, если известно, что

12013+1345=1328

Также известно, что есть по крайней мере две *, заменяющие одну и ту же цифру