Интересные задачи по математике: апреля 2010

26 апреля 2010

Десятибуквенное самоописывающее числительное

Оказывается, во многих языках мира есть числительные, количество букв в которых совпадает с выражаемым числом. В русском языке таковыми являются три и одиннадцать. В блоге о занимательной математике только самоописывающими числительными досчитали от 1 до 9 и от 11 до 18.

Однако не удалось найти, есть ли в каком-то языке числительное 10, состоящее из десяти букв (При этом фраза "десять букв" более чем в десяти языках записывается десятью буквами).

Вот и новая задача конкурса (срок подачи ответов неограничен): в каком языке числительное 10 выражается словом ровно из десяти букв?

16 апреля 2010

Решения задач 6

Задача 19.

Обозначим
$a=\sqrt{2010 + \sqrt{2011}}$
$b=\sqrt{2011 + \sqrt{2010}}$
$c=\sqrt{2010 + \sqrt{2010}}$
$d=\sqrt{2011 + \sqrt{2011}}$

При этом
$c^2=b^2-1$ , а $d^2=a^2 + 1$ .
Так что
$c=\sqrt{b^2-1},~d=\sqrt{a^2 + 1}$

Сравним
$a + b \vee \sqrt{b^2-1} + \sqrt{a^2 + 1}$

$(a + b)^2 \vee \left(\sqrt{b^2-1} + \sqrt{a^2 + 1}\right)^2$

$a^2 + 2ab + b^2 \vee b^2-1 + 2\sqrt{(b^2-1)(a^2 + 1)} + a^2 + 1$

$2ab \vee 2\sqrt{a^2b^2-a^2 + b^2-1}$

$a^2b^2 \vee a^2b^2-a^2 + b^2-1$

$0 \vee -a^2 + b^2-1$

$0 \vee -2010-\sqrt{2011} + 2011 + \sqrt{2010}-1$

$0 > \sqrt{2010}-\sqrt{2011}$

Ответ: первое выражение больше.

Задача 20
Общий вид треугольных чисел: $T_n=\frac{n(n + 1)}{2}$ .

Т.к. оно должно быть квадратом, имеем диофантово уравнение:
$\frac{n(n + 1)}{2}=m^2$
$n^2 + n-2m^2=0$

Решим его как квадратное относительно n:
Дискриминант $D=1 + 8m^2$ должен быть полным квадратом, так что имеем новое уравнение, на этот раз без первых степеней:

$k^2-8m^2=1$

Такое диофантово уравнение называется уравнением Пелля. Очевидны его решения k=1, m=0 и k=3, m=1. Кроме того, треугольно-квадратным, как было сказано в условии, является число 36, поэтому имеем: m=6 и k=17.

Решения уравнения Пелля подчиняются рекуррентному соотношению, в данном случае это будет
$k_t=6k_{t-1}-k_{t-2}$ и $m_t=6m_{t-1}-m_{t-2}$ .

Следующее m будет равно 6*6-1=35 и $35^2=1225=\frac{49\cdot 50}{2}=T_{49}$

Ответ: Таких чисел будет бесконечно много, а следующее – 1225.

Задача 21.
Прибавим и отнимем $2x^2$

$x^4 + 2x^2 + 1-2x^2=(x^2 + 1)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2x^2=\left(x^2 + 1 + x\sqrt{2}\right) \left(x^2 + 1-x\sqrt{2}\right)$

Задача 22.
Остатки $2^n$ при делении на 7 будут имеют период длины 3 и равны: (1, 2, 4). Остатки $n^2$ при делении на 7 имеют период длины 7 и равны (0, 1, 4, 2, 2, 4, 1).

Чтобы разность $2^n-n^2$ делилась на 7 необходимо, чтобы эти остатки были равны. Это приводит нас к уравнениям:

а) n=3m=7k+1
n=21t+15

б) n=3m=7k+6
n=21t+6

в) n=3m+1=7k+3
n=21t+10

г) n=3m+1=7k+4
n=21t+4

д) n=3m+2=7k+2
n=21t+2

е) n=3m+2=7k+5
n=21t+5

Итак, число n должно давать остаток 2, 4, 5, 6, 10 или 15 при делении на 21.
До 10000 групп по 21 числу будет 476, что даёт нам 2856 решений. А т.к. 10000 даёт остаток 4 при делении на 21, то будет ещё два решения, соответствующие остаткам 2 и 4.

Ответ: 2858

Призовые баллы получают:
Alexisto: +12
Alexalkin (nazva.net): +11
Сергей Кузнецов: +5
Наталия Макарова: +5

10 апреля 2010

Вторая открытая Интернет-олимпиада по математике

Приглашаем принять участие во второй открытой Интернет-олимпиаде по математике! Вас опять ожидают 7 нестандартных задач, оценивающихся по 7 баллов каждая.

Решения задач присылайте по адресу: intelmath@narod.ru. Приветствуется сопровождение решения Вашими комментариями относительно интереса задачи и её сложности.

Подведение итогов олимпиады состоится во вторник, 18 мая.

Условия задач олимпиады по математике

06 апреля 2010

Математический аукцион 2: числа Смита

Итак, в первом математическом аукционе мы дошли до 56 цифр в числе, но всё ещё далеко находимся от теоретического потолка в 78 знаков.

Тем временем Наталия Макарова, исследователь и автор магических квадратов предложила тему для нового аукциона.

Требуется найти арифметическую прогрессию из чисел Смита, состоящую из как можно большего количества членов.

Числами Смита называются числа, у которых сумма цифр равна сумме цифр всех простых сомножителей.
Например, в числе 627=3х11х19 сумма цифр равна 6+2+7=15, что равно сумме цифр всех простых сомножителей: 3+1+1+1+9=15

Разность арифметической прогрессии может быть любая (разумеется, отличная от нуля, а также не равная единице, потому что для разности равной единице - это уже другая задача - поиск смитов-близнецов).

Первая ставка - прогрессия длины 5 (из 5 членов), эту прогрессию нашла сама Наталия с помощью своей программы:

627, 636, 645, 654, 663

Кто больше?

05 апреля 2010

Выбор функции для нейросети

В ходе обсуждения клеточного автомата "Жизнь бактерий" была предложена задача. Требуется придумать функцию y(x),определённую для x>0 и принимающей значения из промежутка [0,1].

Функции такого вида используются при конструировании нейронных сетей.
Вот некоторые примеры:
$y(x)=\frac{1}{1 + e^{-a(x-b)}}$

$y(x)=0,5\cdot (1 + \sin(x-b))$

$y(x)=0,5\cdot (1 + \cos(x-b))$

$y(x)=\frac{1}{1 + (x-b)^2}$

$y(x)=\frac{arcctg(x-a)}{\pi}$

Присылайте свои варианты в комментарии

02 апреля 2010

Решения задач 5

Задача 16
Перебор даёт множество таких четвёрок, к примеру, 2, 3, 4, 5 или 1758, 1759, 1760, 7161

Задача 17
Поскольку $\frac{1}{3} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15}=\frac{1}{2}$ и 3+10+15=28, то тройка (3, 10, 15) будет решением исходного уравнения.

Задача 18
AlexAlkin (nazva.net) предлагает следующее решение:

Пошагово будем отнимать общие целые части дробей слева и соответственно справа от искомой дроби. После дроби переворачиваем и процедуру повторяем.
Итак

$\frac{220}{127} } > \frac{ m}{n } > \frac{ \sqrt{3} }$

$\frac{93}{127 } > \frac{ m-n}{n } > \sqrt{3}-1$

$\frac{127}{93 } < \frac{ n}{m-n } < \frac{ 1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2 }$

$\frac{34}{93 } < \frac{n-m + n}{m-n} = \frac{ 2n-m}{m-n } < \frac{ \sqrt{3}-1}{2 }$

$\frac{93}{34 } > \frac{ m-n}{2n-m } > \frac{ 2}{\sqrt{3}-1} = \sqrt{3} + 1$

$\frac{25}{34 } > \frac{ 3m-5n}{2n-m } > \sqrt{3}-1$

$\frac{34}{25 } < \frac{ 2n-m}{3m-5n} < \frac{ 1}{\sqrt{3}-1} =\frac{\sqrt{3} + 1}{2 }$

$\frac{9}{25 } < \frac{ 7n-4m}{3m-5n } < \frac{ \sqrt{3}-1}{2 }$

$\frac{25}{9 } > \frac{ 3m-5n}{7n-4m } >\sqrt{3} + 1$

$\frac{7}{9 } > \frac{ 11m-19n}{7n-4m } > \sqrt{3}-1$

$\frac{9}{7 } < \frac{7n-4m}{11m-19n } < \frac{\sqrt{3} + 1}{2 }$

$\frac{2}{7 } < \frac{26n-15m}{11m-19n } < \frac{ \sqrt{3}-1}{2 }$

$\frac{7}{2 } > \frac{ 11m-19n}{26n-15m} > \sqrt{3} + 1$

$\frac{3}{2 } > \frac{ 41m-71n}{26n-15m } >\sqrt{3}-1$

Здесь слева число, большее единицы, а справа – меньшее.
Единственным натуральным числом между числами $\frac{3}{2 }$ и $\sqrt{3}-1$ будет число 1.

Тогда будет иметь место система уравнений:
41m - 71n = 1
26n - 15m = 1
которая даст нам искомые m=97 n=56 и соответственно дробь с наименьшим знаменателем удовлетворяющая условию $\frac{97}{56}$

Призовые баллы получают:

Николай (smekalka.pp.ru) - 5
sek140675 (nazva.net) - 5
Семён Знаковян (*ALEX ALKIN*, nazva.net) – 8
Alexisto - 9

Интересные задачи по математике

Полезные игры и приложения для Android