Сравните
и
Задача 20
Существуют ли числа, большие числа 36, являющиеся одновременно квадратами и треугольными?
Задача 21
Разложите многочлен x4+1 на множители с действительными коэффициентами
Задача 22
Сколько существует натуральных чисел n меньших 10000, для которых 2n-n2 делится на 7,
Задачу 19 прислал Семён Знаковян, Задачу 20 – Сергей Кузнецов, Задачу 22 - Наталия Макарова
Решения принимаются, как минимум, до 20:00 14 апреля
Задача 19
ОтветитьУдалитьСравните
sqrt(2010+sqrt(2011))+sqrt(2011+sqrt(2010))
и
sqrt(2010+sqrt(2010))+sqrt(2011+sqrt(2011)) .
Для сокращения записи обозначим sqrt(2010)=t, sqrt(2011)=u. Получим
для сравнения два числа, в каждое из которых t и u входят симметрично:
sqrt(t^2+u)+sqrt(u^2+t)
sqrt(t^2+t)+sqrt(u^2+u)
С полным основанием перейдем к сравнению их квадратов:
(sqrt(t^2+u)+sqrt(u^2+t))^2-(sqrt(t^2+t)+sqrt(u^2+u))^=
2(sqrt((t^2+u)(u^2+t))-sqrt((t^2+t)(u^2+u)))
Опять же можно сравнить подкоренные выражения:
(t^2+u)(u^2+t)-(t^2+t)(u^2+u)=(t+u)(t-u)^2>0,
т.к. t=/=u. Отсюда получаем ответ: больше то число, под корнями которого
стоят *разные* числа. Т.е.
sqrt(2010+sqrt(2011))+sqrt(2011+sqrt(2010)) >
sqrt(2010+sqrt(2010))+sqrt(2011+sqrt(2011))
Задача 20
Существуют ли числа, большие числа 36, являющиеся одновременно
квадратами и треугольными?
Решим задачку о числе одновременно являющемся треугольным и квадратным.
Уравнение x^2=y(y+1)/2 или
y^2+y-2x^2=0
нужно решить в целых числах.
Дискриминант уравнения относительно y D=1+8x^2=m^2,
где m- целое число. Получили уравнение
m^2-8x^2=1
Стандартно решаем его, получаем базовое решение m=3, x=1 и т.д.
Итак получили x = ((3 + 2sqrt(2))^n - (3 - 2sqrt(2))^n)/(4sqrt(2)),
y = (sqrt(2) - 1)^(2n)/4 + (sqrt(2) + 1)^(2n)/4 - 1/2. Здесь n - целое
неотрицательное.
Приводим таблицу первых десяти решений:
x x^2 y
¦ ¦
¦ 1 1 1 ¦
¦ ¦
¦ 6 36 8 ¦
¦ ¦
¦ 35 1225 49 ¦
¦ ¦
¦ 204 41616 288 ¦
¦ ¦
¦ 1189 1413721 1681 ¦
¦ ¦
¦ 6930 48024900 9800 ¦
¦ ¦
¦ 40391 1631432881 57121 ¦
¦ ¦
¦ 235416 55420693056 332928 ¦
¦ ¦
¦ 1372105 1882672131025 1940449 ¦
¦ ¦
\ 7997214 63955431761796 11309768 /
Получается, что следующее за 36 искомое число равно 1225:
35^2=49*50/2.
Ответ: числа существуют и их бесконечно много.
Задача 21
Разложите многочлен x^4+1 на множители с действительными коэффициентами.
Решение. Стандартно выделим полный квадрат:
x^4+1=(x^4+2x^2+1)-2x^2=(x^2+1)^2-2x^2,
теперь разложим как разность квадратов
=(x^2+1-x*sqrt(2))(x^2+1+x*sqrt(2)),
что и будет ответом.
Задача 22
Сколько существует натуральных чисел n меньших 10000, для которых 2^n-n^2
делится на 7.
Решаем. Находим числа на отрезке [1,42]:
SELECT(MOD(2^(k sub 1) - (k sub 1)^2, 7) = 0, k, VECTOR([n], n, 1, 42))
Получаем 12 чисел:
/ 2 \
¦ 4 ¦
¦ 5 ¦
¦ 6 ¦
¦ 10 ¦
¦ 15 ¦
¦ 23 ¦
¦ 25 ¦
¦ 26 ¦
¦ 27 ¦
¦ 31 ¦
\ 36 /
Получаем на участке в 42=(7-1)*7 всего 12 решений. Тогда среди чисел
до 1000 таких участков: FLOOR(10000, 42) = 238.
Последний неполный участок содержит: MOD(10000, 42) = 4 числа,
и среди них два решения, соответствующие двойке и четвёрке. Всего получается
решений
238*12 + 2 = 2858.
Проверяем в лоб:
DIMENSION(SELECT(MOD(2^(k sub 1) - (k sub 1)^2, 7) = 0, k,
VECTOR([n], n, 1, 10000))) = 2858.
aleksisto
Задача 19
ОтветитьУдалитьСравните
sqrt(2010+sqrt(2011))+sqrt(2011+sqrt(2010))
и
sqrt(2010+sqrt(2010))+sqrt(2011+sqrt(2011)) .
Для сокращения записи обозначим sqrt(2010)=t, sqrt(2011)=u. Получим
для сравнения два числа, в каждое из которых t и u входят симметрично:
sqrt(t^2+u)+sqrt(u^2+t)
sqrt(t^2+t)+sqrt(u^2+u)
С полным основанием перейдем к сравнению их квадратов:
(sqrt(t^2+u)+sqrt(u^2+t))^2-(sqrt(t^2+t)+sqrt(u^2+u))^=
2(sqrt((t^2+u)(u^2+t))-sqrt((t^2+t)(u^2+u)))
Опять же можно сравнить подкоренные выражения:
(t^2+u)(u^2+t)-(t^2+t)(u^2+u)=(t+u)(t-u)^2>0,
т.к. t=/=u. Отсюда получаем ответ: больше то число, под корнями которого
стоят *разные* числа. Т.е.
sqrt(2010+sqrt(2011))+sqrt(2011+sqrt(2010)) >
sqrt(2010+sqrt(2010))+sqrt(2011+sqrt(2011))
Задача 20
Существуют ли числа, большие числа 36, являющиеся одновременно
квадратами и треугольными?
Решим задачку о числе одновременно являющемся треугольным и квадратным.
Уравнение x^2=y(y+1)/2 или
y^2+y-2x^2=0
нужно решить в целых числах.
Дискриминант уравнения относительно y D=1+8x^2=m^2,
где m- целое число. Получили уравнение
m^2-8x^2=1
Стандартно решаем его, получаем базовое решение m=3, x=1 и т.д.
Итак получили x = ((3 + 2sqrt(2))^n - (3 - 2sqrt(2))^n)/(4sqrt(2)),
y = (sqrt(2) - 1)^(2n)/4 + (sqrt(2) + 1)^(2n)/4 - 1/2. Здесь n - целое
неотрицательное.
Приводим таблицу первых десяти решений:
x x^2 y
¦ ¦
¦ 1 1 1 ¦
¦ ¦
¦ 6 36 8 ¦
¦ ¦
¦ 35 1225 49 ¦
¦ ¦
¦ 204 41616 288 ¦
¦ ¦
¦ 1189 1413721 1681 ¦
¦ ¦
¦ 6930 48024900 9800 ¦
¦ ¦
¦ 40391 1631432881 57121 ¦
¦ ¦
¦ 235416 55420693056 332928 ¦
¦ ¦
¦ 1372105 1882672131025 1940449 ¦
¦ ¦
\ 7997214 63955431761796 11309768 /
Получается, что следующее за 36 искомое число равно 1225:
35^2=49*50/2.
Ответ: числа существуют и их бесконечно много.
Задача 21
Разложите многочлен x^4+1 на множители с действительными коэффициентами.
Решение. Стандартно выделим полный квадрат:
x^4+1=(x^4+2x^2+1)-2x^2=(x^2+1)^2-2x^2,
теперь разложим как разность квадратов
=(x^2+1-x*sqrt(2))(x^2+1+x*sqrt(2)),
что и будет ответом.
Задача 22
Сколько существует натуральных чисел n меньших 10000, для которых 2^n-n^2
делится на 7.
Решаем. Находим числа на отрезке [1,42]:
SELECT(MOD(2^(k sub 1) - (k sub 1)^2, 7) = 0, k, VECTOR([n], n, 1, 42))
Получаем 12 чисел:
/ 2 \
¦ 4 ¦
¦ 5 ¦
¦ 6 ¦
¦ 10 ¦
¦ 15 ¦
¦ 23 ¦
¦ 25 ¦
¦ 26 ¦
¦ 27 ¦
¦ 31 ¦
\ 36 /
Получаем на участке в 42=(7-1)*7 всего 12 решений. Тогда среди чисел
до 1000 таких участков: FLOOR(10000, 42) = 238.
Последний неполный участок содержит: MOD(10000, 42) = 4 числа,
и среди них два решения, соответствующие двойке и четвёрке. Всего получается
решений
238*12 + 2 = 2858.
Проверяем в лоб:
DIMENSION(SELECT(MOD(2^(k sub 1) - (k sub 1)^2, 7) = 0, k,
VECTOR([n], n, 1, 10000))) = 2858.
aleksisto