Задача 12.
Решите в целых числах уравнение:
Задача 13.
Представьте число 13 в виде суммы трёх дробей, так, чтобы
Задача 14.
Вот целый ряд квадратов чисел. Что в них есть общего? (Общее свойство очень красивое)
4192, 9292, 16392, 25492, 36592, 49692
Задача 15.
На столе лежат в открытую 12 карт: 4 туза (оценивается в 1 очко), 4 двойки и 4 тройки.
Игроки по очереди берут карты со стола и складывают в отдельную стопку, одновременно подсчитывая количество очков в ней. Проигрывает тот, после чьего хода в стопке окажется более 21го очка. Кто выиграет при правильной игре и какова выигрышная стратегия?
Задачи 11 и 12 прислал Семён Знаковян (*ALEX ALKIN*)
Задачи 13 и 14 прислал Вован (nazva.net)
Решения принимаются до 20:00 28 марта
//Поправка: при выставлении сроков не учёл, что 28е - это воскресенье, так что продлю до вечера понедельника - как раз сейчасрешения активно приходят.
Задача 11. Сумма 10-ти различных натуральных чисел равна 2010,
ОтветитьУдалитьКакое набольшее значение может принимать сумма трёх наименьших из них?
Решение: Сумма 196+197+198+199+200+201+202+203+204+205=2005.
Осталось прибавить 5 единиц, но их не удается прибавить ни к одному из
трех наименьших чисел.
Ответ: наибольшее значение суммы трех наименьших чисел 196+197+198=591.
Задача 12.
Решите в целых числах уравнение:
(2x+5y+1)(2^|x|+x^2+x+y)=105
Решаем.
1. y - четно, иначе первый множитель четный.
2. x=0, иначе второй множитель четный.
3. Получаем квадратное уравнение 5y^2+6y-104=8, один корень которого целый:
y=4.
Ответ: x=0, y=4.
aleksisto
Решение задачи 13.
ОтветитьУдалить{ Нужно режить уравнение в целых числах: a/b+b/c+c/a=13 }
{ Замечаем, если мы найдем три дроби, сумма которых 13, }
{ а произведение числителей равно произведению знаменателей,}
{ то мы сможем преобразавать эти дроби с помощью процесса, }
{ подобного приведению, к нужным нам дробям! Умные люди, }
{ например rusin, советуют взять дроби в виде: }
{ x^2/yz+y^2/xz+z^2/xy=13. }
{Т.е. решаем уравнение x^3+y^3+z^3=13xyz перебором. }
{Наши числа получим так (a,b,c)=(zy^2,xz^2,yx^2). }
Перебор делался так:
for x:=1 to maxc do
for y:=x to minof(maxc,13*x) do
for z:=y to minof(maxc,13*y) do
if (x*x*x+y*y*y+z*z*z-x*y*z*13)=0 then
writeln('[x,y,z]=[',x,',',y,',',z,
'],[a,b,c]=[',z*y*y,',',x*z*z,',',y*x*x,']')
А это результат:
[x,y,z]=[9,13,38],[a,b,c]=[6422,12996,1053]
[x,y,z]=[18,26,76],[a,b,c]=[51376,103968,8424]
[x,y,z]=[27,39,114],[a,b,c]=[173394,350892,28431]
[x,y,z]=[36,52,152],[a,b,c]=[411008,831744,67392]
[x,y,z]=[45,65,190],[a,b,c]=[802750,1624500,131625]
aleksisto