Задача 16. Про простые числа. Берем 4 последовательных числа: 8, 9, 10, 11 и производим с ними следующие операции:
8*9 -1 =71
9*10-1=89
10*11-1=109
11*12-1=131
Результатами будут четыре простых числа.
Найдите ещё хотя бы одну четвёрку чисел с таким свойством.
Задача 17.
Найдите 3 натуральных числа a,b,c таких, что
Задача 18
Найите наименьшее натуральное n для которого существует такое натуральное m, что
Задачи прислали:
16 – Николай (smekalka.pp.ru)
17 – sek140675 (nazva.net)
18 – Семён Знаковян (*ALEX ALKIN*)
Решения принимаются как минимум до 2 апреля
Решение задачи:
ОтветитьУдалить============================================================
Задача 16. Про простые числа.
Берем 4 последовательных числа: 8, 9, 10, 11 и производим
с ними следующие операции:
8*9 -1 =71
9*10-1 =89
10*11-1 =109
11*12-1 =131
Результатами будут четыре простых числа.
Найдите ещё хотя бы одну четвёрку чисел с таким свойством.
============================================================
Сначала переформулируем задачу: при каком n все четыре числа
n^2+n-1
n^2+3n+1
n^2+5n+5
n^2+7n+11
являются простыми? Сразу замечаем, что n не должно делиться на 7 или на 11,
но это так, к слову.
Второе замечание - вторые разности указанных выше чисел равны 2. Это
означает что задачу можно представить и так: при каком n многочлен
x^2+(2n+1)x+n^2+n-1
принимает простые значения при x=0,1,2,3? Дискриминанат многочлена равен 5,
что не дает ему разложиться на множители.
На таком абстрактном пути дальше ничего не нашлось, прибегнем теперь
к математическим помощникам. Я выбрал DERIVE - дело вкуса, его возможностей
вполне хватает. Файлы решения не пишу, основная функция:
fourn(n):=FACTOR(VECTOR(x^2+x*(2*n+1)+n^2+n-1,x,[0,1,2,3]))
SELECT(EVERY(PRIME?(i), i, r ), r, VECTOR([[i], fourn(i)], i, 1,5000)).
Среди чисел до 5000 есть только следующие, которые могут служить
ответом: 2,3,8,53,548,1758. Каждое из них является первым числом в своей
четверке.
aleksisto
Задача 17.
ОтветитьУдалитьНайдите 3 натуральных числа a,b,c таких, что
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=14
За нас все сделал Серпинский, например, в решении задачи N186
из книги "250 задач..." он полностью разбирает уравнение вида
1/a+1/b+1/c=1/2
Среди решений этого уравнения есть одно (3,10,15), при котором
a+b+c=3+10+15=28, что нам и надо.
Замечаем, что это решение можно умножить на произвольное целое.
Итак ответ: (3t,10t,15t).
Задача 18
Найите наименьшее натуральное n для которого существует
такое натуральное m, что
(220/127) > (m/n) > sqrt(3)
Находим походящие дроби для 220/127 и sqrt(3):
220/127 -> [1, 2, 5/3, 7/4, 19/11, 26/15, 97/56, 220/127]
sqrt(3) -> [1, 2, 5/3, 7/4, 19/11, 26/15, 71/41, 97/56, 265/153,
362/209, 989/571,...]
Эти дроби в своей последовательности через одну больше и меньше
порождающего числа. Замечаем, что 97/56 есть в обеих последовательностях
и на нужном месте!
Т.е. n=56, m=97. Доказательств минимальности никаких...
aleksisto