Разбор задачи ММ143 Математического Марафона

======= 143 ========

ММ143 (КГ11) (4 балла)

Девять из десяти ребер пятиугольной пирамиды имеют длину 1. В каком диапазоне может изменяться длина 10-го ребра?

====================

Решение

Очевидно, что возможны два случая: равны между собой все боковые ребра; равны между собой все ребра в основании.

Первый случай достаточно прозрачен. Вершины основания должны лежать на окружности. При этом десятое ребро может меняться от 0 (в случае когда пятиугольник в основании вырождается в квадрат) до (когда вершины основания являются пятью вершинами правильного шестиугольника).
Поскольку в первом предельном случае пирамида становится четырехугольной, а во втором - плоской фигурой, крайние значения не достижимы и для длины десятого ребра получается интервал .

Значительно содержательнее второй случай. Легко видеть, что в этом случае пятиугольник в основании должен обладать осью симметрии. Кроме того, четыре из пяти вершин этого пятиугольника должны быть вершинами равнобочной трапеции. Переменную длину будет иметь ребро, соединяющее пятую вершину основания с вершиной трапеции.
Очевидно, что это ребро может быть сколь угодно коротким (нулевое значение достигается, когда вершины равнобочной трапеции в основании являются последовательными вершинами правильного шестиугольника, а угол при пятой вершине - развернутый).
Для нахождения наибольшего значения длины десятого ребра рассмотрим пятиугольник в основании пирамиды подробнее (см. рисунок).



Пусть Тогда , а высота пирамиды .
Дифференцируя , как функцию от , находим значение , при котором достигается максимальная длина десятого ребра (точное значение, являющееся корнем уравнения 4-й степени можно выразить в радикалах, но выражение получается очень громоздким).
Легко убедиться, что это значение лежит в допустимых пределах изменения .
Учитывая, что больше , окончательно получаем диапазон изменения длины десятого ребра пирамиды .

Обсуждение

При уменьшении длины отрезка BD высота пирамиды монотонно увеличивается. Мне (и не только мне, но и ряду участников) сначала померещилось, что аналогично с уменьшением BD растет и CO. Это заблуждение нашло отражение в цене задачи.
Когда я, вскоре после публикации задачи, обнаружил свою ошибку, то сначала хотел внести исправление, увеличив цену задачи. Но затем решил не "светится" и увеличить балл за задачу лишь при при подведении итогов.

Награды

Отмеченная ошибка оказалась далеко не единственной. Некоторые участники не усмотрели возможности (а то и "усмотрели невозможность") изменения бокового ребра, другие рассматривали только выпуклые пятиугольники в основании, третьи наврали в вычислениях...
В результате баллы за задачу ММ143 распределились следующим образом:
Сергей Половинкин - 8 призовых баллов.
Андрей Халявин - 7 призовых баллов;
Дмитрий Пашуткин и Виктор Филимоненков - по 6 призовых баллов;
Кирилл Веденский - 5 призовых баллов;
Алексей Волошин Александр Ларин и iPhonograph - по 4 призовых балла;
Николай Дерюгин и Sirion - по 3 призовых балла;
Анатолий Казмерчук и Евгений Гужавин - по 2 призовых балла.

Эстетическая оценка - 4.6 балла

Разбор задачи ММ143 подготовил Владимир Лецко