Разбор задачи ММ149 Математического Марафона

======= 149 ========

ММ149 (8 баллов)

При каком наименьшем в группе перестановок существует подгруппа порядка 253? Привести пример такой подгруппы.

====================

Решение

Приведу решение Андрея Халявина, замечательное своей краткостью.
. Поэтому по теореме Силова в подгруппе должен быть элемент порядка 23. Значит, .
Пусть - первообразный корень по модулю 23. Тогда подгруппа группы , состоящая из перестановок , имеет порядок 253.
Ответ:

Обсуждение

Приведу более лобовой (если хотите, более тупой) способ построения требуемой подгруппы группы .
Возьмем цикл и будем строить перестановку такую, что .
Заметим, что .
Пусть . Тогда при имеем: . Значит, и .
Тогда . Значит, и .
Тогда . Значит, и .
Тогда . Значит, и .
Продолжая в том же духе, получим .
Непосредственно проверяется, что подгруппа, порожденная и , имеет порядок 253.

Пусть - простые числа. С помощью теоремы Силова легко доказывается, что, если не сравнимо с 1 по модулю , то группа порядка циклическая. Такая группа может быть реализована перестановками множества, состоящего не менее, чем из элементов.
Если же сравнимо с 1 по модулю , то обязательно найдется группа порядка , реализуемая перестановками из . Подробности можно найти, например, в книжке М.Каргаполов, Ю.Мерзляков. "Основы теории групп"


Награды

За правильное решение и обобщение задачи ММ149 Алексей Волошин получает 9 призовых баллов. Анатолий Казмерчук, Виктор Филимоненков, Sirion и Андрей Халявин получают по 8 призовых баллов. Сергей Половинкин и Дмитрий Пашуткин (нашедшие нужные подгруппы лишь в ) получают по 2 призовых балла.

Эстетическая оценка - 5 баллов

Разбор задачи ММ149 подготовил Владимир Лецко

-- 23 окт 2011, 11:41 --

=================================