Решения задач 1

Задача 1.

Треугольники AOM и BOА – прямоугольные, имеют равные острые углы и общий катет. Следовательно, они равны и AB=AM=MC. Значит АС=2АВ.

Троек последовталеьных чётных чисел, одно из которых вдвое больше другого – две. Это 2, 4, 6, не задающая треугольник и 4, 6, 8, которая и будет решением.

Ответ: 4, 6, 8.

Задача 2.

Рассмотрим три последовательных числа: n-1, n, n+1. Сумма их кубов равна (n-1)³ + n³ + (n+1)³ = n³ – 3n² + 3n – 1 + n³ + n³ + 3n² + 3n + 1 = 3n³ + 6n = 3n(n²+2).

Это говорит нам, что сумма трёх последовательных кубов всегда делится на 9, т.к при n делящемся на 3, на 9 будет делиться 3n, а в ином случае - 3(n²+2). Так что признак делимости на 9 ничего не проясняет.

Однако подбирая больше троек чисел для анализа, мы быстро натыкаемся на решение задачи.

n	3n(n2+2)
0	0
1	9
2	36
3	99
4	216
5	405
6	684
7	1071
8	1584
9	2241
10	3060
11	4059
12	5256
13	6669

12³ + 13³ + 14³=6669.

Следующая такая тройка:

22³ + 23³ + 24³=36639

Ответ: существуют.

.Задача 3.

Доказательство:

Рассмотрим 94 числа, записанных единицами: 1, 11, 111, …[число из 94 единиц]. Существует 93 возможных остатка от деления на 93. Следовательно, по принципу Дирихле, мы будем иметь два числа, сотосящих из одних едниц, дающие одинаковый сотаток при делении на 93. Разность их, число вида 11…10…0 будет делиться на 93. Т.к. 93 и 10 взаимно просты, то и число из одних единиц, полученное отбрасыванием нулей от разности, тоже будет делиться на 93. А, значит, существует и число из одних троек, которое будет делиться на 93.

Хотя само число приводить не требовалось, многие участники его нашли. Это пятнадцать троек:  333333333333333.

Призовые баллы получают:

Семён Знаковян (*ALEX ALKIN*) - 10

GENERATION (smekalka.pp.ru) – 9

николай (smekalka.pp.ru) – 3

lkob (nazva.net) – 3

НафтюФа (nazva.net) – 3