Решения задач 4

Задача 11.

Минимальное из чисел будет иметь наибольшее значение, если числа будут минимально различаться между собой.

Сумма десяти последовательных чисел равна

n+n+1+n+2+n+3+n+4+n+5+n+6+n+7+n+8+n+9=10n+45=2010

Но 2010 мы не сможем получить в виде суммы десяти последовательных чисел, т.к. n в таком случае должно равняться 196,5

Максимальное целое n будет 196.

Тогда сумма 10 последовательных чисел составит 2005. Оставшуюся пятёрку, даже разбив на единицы, мы не сможем прибавить ни к одному из трёх минимальных чисел.

Сумма трёх минимальных 196 + 197 +198=591

Задача 12.

Т.к. число 105 можно разложить только на два нечётных множителя, то:

Чтобы первый множитель был нечётным, y должен быть нечётным.

Чтобы второй множитель был нечётным, x должен быть равен нулю

В уравнении (5y+1)(y+3)=105 чётным корнем будет число 4.

Ответ x=0, y=4

Задача 13.

Путём перебора можно найти решение, к примеру:

Для облегчения перебора можно искать числа (a,b,c) вида (zy²,xz²,yx²), т.е. решать Диофантово уравнение

x³+y³+z³=13xyz

Задача 14.

Сначала можно заметить, что общий член этой последовательности можно выразить как

Дальнейшим преобразованием, получим:

(100n²+10n-1)²=10000n⁴+100n²+1+2000n³-200n²-20n

10000n⁴+2000n³-100n²-20n+1 =20n(500n³+100n²-5n-1)+1=20n(100n²(5n+1)-(5n+1))+1=20n(100n²-1)(5n+1)+1=20n(10n-1)(10n+1)(5n+1)+1= (10n-1)10n(10n+1)(10n+2)+1

19*20*21*22+1 = 4192

29*30*31*32+1=9292

39*40*41*42+1=16392

И.т.д.

Задача 15. (решение от Disciple)

Выигрывает первый. Для этого ему стоит вначале скидывать в стопку карты номиналом 2(двойки). 

Если он будет играть двойками только один, то на это у него уйдет 4 хода. Второй за эти четыре хода скинет 4 карты. И четыре карты останутся на столе. Возможны 5 случаев:

1)Остались карты - 3 3 3 3. 

Значит сумма в стопке 12 (всего сумма 24, и 12 на столе). После следующего круга (очередного хода первого, а потом второго игрока) на столе останутся две тройки и сумма стопки будет 18. Первый кладёт еще одну 3 в стопку. Сумма стопки 21, и второй проигрывает.

2)Остались 3 3 3 1. Первый ходит единицей, второму приходится ходить тройкой. Остались две тройки и сумма стопки 18. Концовка аналогична 1)

3)Остались 3 3 1 1. Сумма стопки при этом 16 (на столе 8 очков). Первый ходит 3. Сумма стопки 19. Если второй сходит 3,то проиграет, поэтому вынужден ходить 1. Сумма стопки 20. Первый ходит 1. Сумма стопки 21. Второй проиграл. 

4)Остались 3 1 1 1. Сумма стопки 18. Первый ходит 3. Сумма стопки 21. Второй проиграл.

5)Остались 1 1 1 1. Сумма стопки 20. Первый ходит 1. сумма стопки 21. Второй проиграл.

Если же двойки кончились раньше 4 хода первого (Двойки скидывал не только он, но и второй игрок), то первый ходит, как захочет до тех пор, пока на столе не останется 4 карты. А так как на столе нет двоек, то это будет одна из 5 рассмотренных выше ситуаций, в которых Первый выиграет.

Призовые баллы получают:

Disciple (nazva.net): 6

Buka: nazva.net: 3

Aleksisto: 9 баллов

Николай:3

Семён Знаковян (*ALEX ALKIN*): 10

Вован (nazva.net): 10