19 октября 2010

Джунгли задач на движение



Чтобы занять область, нужно решить 1 задачу:


Задача 10
Сфера поделена на государства, и границами служат 17 больших кругов этой сферы. Ни в одной точке не граничат более 4 государств. Путешественник утверждает, что объехал все государства наземным транспортом, побывав в каждом по одному разу и не проезжая точки, где граничат какие - либо 4 государства. Могло ли так быть?

К карте математического острова

Решенные задачи:

Задача 1. Два лыжника двигались со скоростью 12 км/ч. При входе на сложный участок их скорость уменьшилась до 8 км/ч. Когда оба лыжника оказались на сложном участке, расстояние между ними составило на 300 метров меньше изначального. Каким было изначальное расстояние между лыжниками?

Задача 2. Туристы пошли в похол. На указателе в деревне было написано, что до места назначения осталось 2 часа 55 минут пешим ходом. Из этой деревни они вышли в 12-00. В 13-00 они устроили 15-минутный привал и увидели другой указатель, согласно которому до места назначения остаётся 1 час 15 минут ходьбы пешком. После привала они продолжили путешествие с той же самой скоростью и шли без остановок. В котором часу туристы добрались до места назначения?

Задача 3. В подсобном помещении 2х4 метра устроили ремонт. Вдоль одной из длинных стен по полу был прикреплён 4-метровый короб для проводов шириной 6 см. Оставшуюся площадь пола выложили плиткой. В наличии было два вида квадратной плитки со сторонами x см и y см. Причём длины сторон плиток были целыми сантиметрами. На выкладку пола было потрачено ровно 125 плиток одного вида и ровно 114 плиток другого вида. Назовите все возможные размеры плиток, подходящих под условие.


Задача 4. Вычислите





Задача 5
Мастер спорта даёт сеанс одновременной игры в шахматы на нескольких досках. За первые два часа он выиграл P% всех партий и проиграл L партий. За следующие два часа он выиграл Q% остальных партий, M партий проиграл и N партий закончились вничью. Сколько игр сыграл мастер?


Задача 6
Имеются купюры номиналом 1, 10, 100 и 1000 рублей. Сколько существует способов получить миллион рублей из двух тысяч купюр?

Задача 7
К некоторому числу прибавили сумму его цифр. С результатом проделали то же самое. Всего операцию проделали 5 раз и получили 1000. Назовите изначальное число и приведите метод его нахождения, не являющийся грубым перебором.


Задача 8
Формула-1 впервые проводится в Москве , по развязке МКАДА с Рублевкой (картинка в виде 4х кривых клеверных листиков).Осмотрев трассу, гонщик Шухерман представил ее приближенно как сопряжение дуг окружностей и забил в бортовой компьютер следующий закон движения: стараться,чтобы скорость (в футах/сек) была численно равна радиусу проходимой окружности в метрах.. Оцените результат Шухермана на круге (между двумя соседними прохождениями точки старта)

Задача 9
Посади олигарха.Городок имеет форму прямоугольника 4х6 км. Данные слежения за олигархом Жульманом и его автомобилем в течение последней недели:
1.Пробег автомобиля 2517 км.
2.Сумма модулей всех углов поворота стрелки компаса ,закрепленного на приборной панели автомобиля, 2010 румбов (1 румб=.
3.Автомобиль в отсутствие в нем Жульмана не передвигался.
4.Движение задним ходом не применялось.
К сожалению, аппаратуру, снимавшую другие данные, олигарх сумел вывести из строя.
Можно ли на основании этих данных доказать, что Жульман нарушил подписку о невыезде из городка?

Приведите речь эксперта обвинения. если да, и адвоката, если нет. На презумпцию особо не надейтесь.

38 комментариев:

  1. Задача 1
    От момента, когда первый лыжник заехал на сложный участок, до момента, когда второй лыжник заехал на сложный участок, первый ехал со скоростью 12 км/ч x м, а второй - со скоростью 8 км/час х-300 м

    V1=12 км/ч=10/3 м/с
    V2=8 км/ч=20/9 м/с
    S1=x м
    S2=x-300 м
    t1=t2
    x/(10/3)=(x-300)/(20/9)
    x=900 м
    Ответ: 900 м

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. щпшлуопкоишщкищуоиоцрищгцурпщгурпокрмгорморургиурогу78п48н938698кшзкпкопшшуокшпокшпо4епкопрцгпрщгрпгщурпшпщуцпхщимбдсьтььвзжаззцъзркщзтшу049н48н8лаогтлкопзщкзщлцрщцгшпкрилцлщпцзцхпцпзщцшец3гзшшепгеее9п0ущпшунр499е8й2-9нп9шцлолцшалзущцплзшцжпуоргщцропгшцрпгшкщупшкрошкршопшеоывапролапоткуыгшфгщцдукалорпфйцукенгшщзфяяывапролдячсмитьбю234567890тиовиоиоаоовокогкгакгпли

      Удалить
  2. Задача 2

    Первый участок а метров, второй б метров. Время прохождения соответственно 60 мин и х мин. По указателю - 100 мин и 75 мин.

    а/60=б/х - скорость хотьбы
    а/100=б/75 - скорость по указателю

    а=60б/х
    (60б/х)/100=б/75
    60б/100х=б/75
    3/5х=1/75
    х=45 мин - время прохождения второго участка

    Вышли от привала в 13:15. К месту назначения добрались в 14:00.

    ОтветитьУдалить
  3. Леонид, smekalka (Смекалка)21 октября 2010 г. в 02:27

    Задача 1

    Ответ: 900 м.
    Если я правильно понял условие.

    Пусть х - первоначальное расстояние между лыжниками. Тогда х/12=(x-0.3)/8.

    ОтветитьУдалить
  4. Леонид, smekalka (Смекалка)21 октября 2010 г. в 02:33

    Задача 2

    Ответ: В 14-00.

    Туристы идут в 1 2/3 раза быстрее, чем положено. Значит, оставшиеся 75 мин они пройдут за 45 мин.

    ОтветитьУдалить
  5. Nazva получает 5+5+10=20 баллов.
    Smekalka получает 3+3=6баллов.

    Область переходит к Nazv'e, которая должна в течение следующего хода укрепить её задачами

    ОтветитьУдалить
  6. Укрепление 1
    ===Условие
    В подсобном помещении 2х4 метра устроили ремонт. Вдоль одной из длинных стен по полу был прикреплён 4-метровый короб для проводов шириной 6 см. Оставшуюся площадь пола выложили плиткой. В наличии было два вида квадратной плитки со сторонами x см и y см. Причём длины сторон плиток были целыми сантиметрами. На выкладку пола было потрачено ровно 125 плиток одного вида и ровно 114 плиток другого вида.
    Назовите все возможные размеры плиток, подходящих под условие.

    ===Решение
    Площадь помещения = 200х400 см, площадь выложенного пола (200-6)х400=77600 см кв
    Площадь использованной плитки = 125x^2+114y^2
    125x^2+114y^2=77600
    y^2=(77600-125x^2)/114=681-x^2-(34+11x^2)/114
    Положим 34+11x^2=114a
    x^2=(114a-34)/11=10a-3+(4a-1)/11
    Положим 4a-1=11b
    a=(11b+1)/4=3b-(b-1)/4
    Положим b-1=4c
    b=4c+1 подставим в a
    a=(11b+1)/4=11c+3 подставим в x^2
    x^2=(114a-34)/11=114c+28 подставим в y^2
    y^2=(77600-125x^2)/114=650-125c
    Из последних выражений получаем 0<=c<=5
    Подставив целые значения с в формулы x^2 и y^2 обнаруживаем, что при с=2 x^2=256 y^2=400
    Из чего получаем x=16, y=20
    Остальные значения с не дают полных квадратов.
    Ответ: размеры плиток 16 см и 20 см являются единственно возможными.

    ОтветитьУдалить
  7. x=16
    y=20
    Больше подходящих размеров нет

    ОтветитьУдалить
  8. zhekas получает 5+10=15 баллов и контроль над областью

    ОтветитьУдалить
  9. Вычислите:
    http://mathurl.com/29bzyd3

    Ответ 1340

    ОтветитьУдалить
  10. составляется уравнение
    125*x^2+114*y^2=400*194
    первое слагаемое делится на 5 и сумма тоже. тогда и второе слагаемое тоже делится на пять y=5m. Подставляем и сокращаем.
    125x^2+114*25*m^2=400*194
    5*x^2+114*m^2=16*124
    второе слагаемое делится на 2 и сумма тоже. Значит и первое слагаемое делится на 2. x=2n
    5*4*n^2+114*m^2=16*194
    5*2*n^2+57*m^2=16*97
    дальше m=2a
    5*2*n^2+57*4*a^2=16*97
    5*n^2+57*2*a^2=8*97
    n=2b
    5*2*b^2+57*a^2=4*97
    a=2c
    5*b^2+57*2*a^2=2*97
    b=2d
    5*2*d^2+57*a^2=97

    откуда a=1 d=4
    x=2*2*2*2=16 y=5*2*2=20

    ОтветитьУдалить
  11. Тут 2 суммы по 670 слагаемых. Слагаемые с одинаковыми номерами дают в сумме 2.
    Сумма равна 2*670=1340

    ОтветитьУдалить
  12. Задача 4
    Представим выражение в первых скобках как сумму по n.
    Слагаемым будет выражение
    ((3n-2)+(3n-1))/3n=2-1/n
    Количество слагаемых 2010/3=670

    Второе выражение имеет вид: сумма по n от 1 до 670 (1/n)

    Результат
    S=SUM(2-1/n)+SUM(1/n)=SUM(2)-SUM(1/n)+SUM(1/n)=SUM(2)=670*2=1340
    Ответ: 1340

    ОтветитьУдалить
  13. Извините, если порчу настроение, но уравнение на количество плиток, примыкающих к меньшей стороне 16m+20n=194 решений не имеет (по делимости на 4), значит и при х=16 у=20 паркета не существует, с учетом поста Zhekas у задачи 3 решений нет

    ОтветитьУдалить
  14. Nazva получает +15 баллов и область

    E-Science не имела на ходу 5 общей границы

    Про предыдущий захват области Zhekas'ом - большое спасибо, ведь и вправду! Мне надо быть внимательнее. Однако тот факт, что один участник дал неправильное решение задачи, совпадающее с правильным решением по мнению другого игрока, оставляет предыдущий захват и очки в силе.

    Однако теперь к условиям я отношусь ответственнее, к чему призываю и команды

    ОтветитьУдалить
  15. Джунгли

    ===Укрепление 1
    Мастер спорта даёт сеанс одновременной игры в шахматы на нескольких досках. За первые два часа он выиграл P% всех партий и проиграл L партий. За следующие два часа он выиграл Q% остальных партий, M партий проиграл и N партий закончились вничью. Сколько игр сыграл мастер?
    ===Решение
    Пусть Х - количество игр.
    За первые два часа сыграно игр: X*P/100+L
    Следующие два часа: (X-(X*P/100+L))*Q/100+M+N
    X=X*P/100+L+(X-(X*P/100+L))*Q/100+M+N
    После нехитрых манипуляций получаем
    10000*(M+N+L)-100*(Q+L)
    Х=-----------------------
    10000+P*Q-100*(P+Q)
    [надежда на ошибку в манипуляциях]

    ===Укрепление 2
    Имеются купюры номиналом 1, 10, 100 и 1000 рублей. Сколько существует способов получить миллион рублей из двух тысяч купюр?
    ===Решение Числа 1,10,100,1000 при делении на 9 дают остаток 1. Таким образом сумма купюр даёт такой же остаток, как и их количество.
    2000 mod 9 = 2
    1000000 mod 9 = 1
    Ответ: Невозможно получить миллион из 2000 купюр указанных достоинств (обосновать!).

    ===Укрепление 3
    К некоторому числу прибавили сумму его цифр. С результатом проделали то же самое. Операцию проделали 5 раз и получили 1000. Назовите изначальное число.
    ===Решение
    1) 101x+11y+2z=1000
    x=9 -> 11y+2z=1000-909=91
    Решаем уравнение, получаем y=2a+1 z=40-11a -> 0 a=3 -> y=7, z=7, x=9 -> 977
    2) 11y+2z=977-909=68 -> y=2a z=34-11a -> 0 a=3 -> y=6, z=1, x=9 -> 961
    3) 11y+2z=961-909=2 -> y=2a z=26-11a -> 0 a=2 -> y=4, z=4, x=9 -> 944
    4) 11y+2z=944-909=35 -> y=2a+1 z=12-11a -> a=1 -> y=3, z=1, x=9 -> 931
    5) 11y+2z=931-909=22 -> y=2a z=11-11a -> a=1 -> y=2, z=0, x=9 -> 920
    Ответ: 920
    Просьба принимать ответ с обоснованием. Обратной проверки недостаточно.

    ОтветитьУдалить
  16. По поводу задачи про плитку: в задаче не сказано, что кладутся целые плитки. Сказано лишь, что использованы целые плитки. Т.е. половинка там, половинка там.
    Поэтому уравнение 16m+20n=194 не обязано иметь целые решения.

    ОтветитьУдалить
  17. Да-да, я потом на это тоже обратил внимание :)

    ОтветитьУдалить
  18. Задача 5.Находим число партий отдельно по промежуткам,данных хватает.
    ответ S=L/(1-0,01P)+(M+N)/(1-0,01Q)

    ОтветитьУдалить
  19. Да, придется поправиться.
    Задача 5. Всего игр:
    (L+N+M+Q(N+M)/(100-Q))*100/(100-P)распределение результатов в первом промежутке ведь немного зависит от того, сколько отложено до второго.

    ОтветитьУдалить
  20. Задача 7
    N5=1000
    N4 (число шаг назад) больше 1000-27 но меньше 1000-9-7, итого с 973 до 987 (эти границы можно еще итерационно уточнять, когда не лень).
    Делимость на 9: остаток у 1000 =1,значит сумма 2х остатков по 5.Такие у 977=N4 (подходит) и 986 (не подходит)
    Остаток 5 может быть только суммой двух остатков по 7 значит у N3 остаток 7. N3 в границах 977-24=953 и 977-9-5=963 тут одно число 961=N3
    Делимость N2 на 9- снова выполняем деление на 2 в поле зет-9, остаток у N2 8
    Границы: 961-2*9-4=939 и 961-9-3=949 одно число 944=N2
    Делимость N1 на 9: остаток 4. Границы: 944-2*9-2=924 и 944-9-1=934 N1=931
    Искомое N в границах 931-2*9-1=912 и 931-9=922, остаток у него 2 Тут число
    N=920
    Проверка
    920+11= 931 931+13=944 944+17=961 961+16=977 977+23=1000

    ОтветитьУдалить
  21. 6.Пусть x купюр по 1 рублю,
    y купюр по 10 рублей,
    z купюр по 100 рублей,
    t купюр по 1000 рублей,
    тогда
    x + y*10 + z*100 + t*1000 = 1000000
    x + y + z + t = 2000
    Из первого вычтем 2-ое
    9*y + 99*z + 999*t = 998000
    Слева на 9 делится, а справа - нет.
    Ни одного способа нет.

    ОтветитьУдалить
  22. Ну я и загнул вчера "поле Зет-9",когда и ребенку ясно, что это кольцо.Впрочем, на решение это никак не влияет, ждем оценки наших трудов :)

    ОтветитьУдалить
  23. "ждем оценки наших трудов"
    А мы ждём оценки наших не менее вашего )))
    Задача 5 - НЕВЕРНО
    Задача 6 - ВЕРНО
    Задачу 7 оценить тяжело. Ответ-то верный, конечно, но подход к поиску сомнительный. Мой вариант более прост и более очевиден. Оставим оценку этой задачи ведущему.

    ОтветитьУдалить
  24. Честно говоря, в задаче 7 я бы тоже так искал, не вводя переменных. Вполне рациональный подход.

    E-science получает 5+5=10 баллов.

    Назва получает +1 балл

    ОтветитьУдалить
  25. Задача 5 , исправлено после ошибки на пред.ходу
    Всего было Х партий, за 2 первых часа закончились (X*P/100+L), осталось (X-X*P/100-L) партий, из них выиграно (X-X*P/100-L)*Q/(100-Q), а всего за 2 последних часа сыграно (X-X*P/100-L)*Q/(100-Q)+M+N партий, получаем
    ((X-X*P/100-L)*Q/(100-Q)+M+N)= (X-X*P/100-L)
    Тогда X = (L+(M+N)*100/(100-Q))*100/(100-P)

    ОтветитьУдалить
  26. Повторю пост: Задача 5 , исправлено после ошибки на пред.ходу
    Всего было Х партий, за 2 первых часа закончились (X*P/100+L), осталось (X-X*P/100-L) партий, из них выиграно (X-X*P/100-L)*Q/(100-Q), а всего за 2 последних часа сыграно (X-X*P/100-L)*Q/(100-Q)+M+N партий, получаем
    ((X-X*P/100-L)*Q/(100-Q)+M+N)= (X-X*P/100-L)
    Тогда X = (L+(M+N)*100/(100-Q))*100/(100-P)

    ОтветитьУдалить
  27. E-science получает 5+10=15 баллов и область

    ОтветитьУдалить
  28. Картинку МКАДа поправьте. Она не увеличивается.

    ОтветитьУдалить
  29. Да, это просто ошибка на картинке, она и не должна.

    ОтветитьУдалить
  30. Задача 9
    Задача 9
    Путь по границе городка является "самым прямым", т.е. соотношение 20 км на 2pi (16 румбов) максимально возможное.
    Общий пройденный путь равен 2517 км. = 125,85 кругов по границе города.
    При таком пути минимально возможный угол 125,85*16=2013,6 румбов
    Т.е. путь должен быть ещё более прямым (должно быть меньше поворотов), из чего следует, что был осуществлён выезд за границы города.

    ОтветитьУдалить
  31. Этот комментарий был удален администратором блога.

    ОтветитьУдалить
  32. Задача 8
    Имеем путь и 4-х дуг одного радиуса и 4-х дуг другого радиуса, построенный по принципу построения овала.
    http://img832.imageshack.us/img832/8383/81421286.jpg
    Длина дуг равна R1*a1 и R2*a2, где R1 и R2 - радиусы дуг, a1 и a2 - углы дуг.
    Время, требуемое на прохождение этих дуг со скоростью, равной радиусу, равно значению угла дуги.
    По принципу построения дуг овалов точки сопряжения дуг (В1 и С1) лежат на прямой, проходящей через центры окружностей дуг.
    Легко заметить, что 4 таких прямых вместе с осями O1O2 и O1O4 разбивают окружности дуг на 12 равный частей. Равность частей следует из того, что углы наклона этих прямых в вертикальной и горизонтальной оси равны.
    Угол одной части равен 2пи/12=пи/6. Дуга меньшего радиуса состоит из 7 частей = 7пи/6, дуга большего радиуса состоит из двух частей = 2пи/6. Всего сумма углов дуг в одной четверти пути составляет 9пи/6=3пи/2.
    Сумма углов дуг всего пути составляет 4*3пи/2=6пи.
    Ответ: оценочное время прохождения круга = 6пи

    ОтветитьУдалить
  33. Уточнение к задаче 8
    Учитывая, что 1 фут/сек = 0.3 м/с, то
    оценочное время = 6пи/0.3=20пи секунд

    ОтветитьУдалить
  34. Сообщение MagTux 5 ноября 2010 г. 15:43 опуликовал случайно раньше времени. Вот оно:
    Задача 9 - поправка Путь по границе городка является "самым прямым", т.е. соотношение 20 км на 2pi (16 румбов) максимально возможное. Общий пройденный путь равен 2517 км. = 125,85 кругов по границе города. Пусть было пройдено 125,5 кругов, что соответствует 2510 км и 2008 румбов. Теперь нужно распределить 7 км и 2 румба. Находясь в вершине границы города и "смотря" на длинную границу можно повернуть на угол atan(6/4)<2 румба, чтобы выехать на диагональ, которая равна sqrt(4^2+6^2)~7.2, чего достаточно для распределения пути внутри города. Оставшиеся половину румба можно "накрутить зигзагами" на пути по диагонали. Такими могут быть доводы адвоката для оправдания олигарха.

    ОтветитьУдалить
  35. Назва получает 5+5=10 баллов
    E-Science +1 балл за сохранение области

    ОтветитьУдалить
  36. Опечатался в поправке задачи 9

    Находясь в вершине границы города и "смотря" на длинную границу можно повернуть на угол atan(4/6)<2 румба, чтобы выехать на диагональ, которая равна sqrt(4^2+6^2)~7.2

    ОтветитьУдалить