К карте математического острова
Чтобы занять область, нужно решить 2 задачи:
Задача 9
Угадайте сколько в моём альманахе страниц (нумерация с 1 без ведущих нулей) при условии:
Если посчитать количество цифр в номерах страниц, то их будет 333.
Если посчитать количество троек в номерах страниц, то их будет 333.
Задача 10
Некоторая функция определена для всех натуральных аргументов 100000<=X<=999999.
Вот некоторые её значения:
f(100000)=40
f(384891)=85
f(418703)=32
f(504704)=67
f(619919)=0
f(827190)=3
Найдите все возможные аргументы функции, при которых она имеет максимальное значение, если известно, что минимальное её значение = 0. Также известно, что в значениях функции не может быть цифры 1.
UPD 9.11.10:
Ещё 5 значений на сгенерированные случайным образом аргументы:
f(291214)=22
f(191015)=2
f(245269)=30
f(907204)=4
f(672197)=70
Кроме отсутствия единиц известно также, что в значениях не более двух цифр.
Решённые задачи
Задача 1. Прямоугольник размерами 2012х2010 раскрашен так, как показано на рисунке (каждый закрашенный прямоугольник имеет размер 1х3). Чему равна площадь закрашенной части?
Задача 2. Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, …записываются в клетки бесконечного листа по спирали, начиная с отмеченной клетки. Какая цифра будет стоять на 100 клеток выше отмеченной?
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 1 | |
5 | 2 | 3 | 4 | 5 | 2 | |
4 | 1 | 1 | 2 | 1 | ||
3 | 5 | 4 | 3 | 2 | ||
2 | 1 | 5 | 4 | 3 | ||
Задача 3. abbc, cdde, faeecfac - натуральные числа. a,b,c,d,e,f - различные цифры, составляющие эти числа. Найдите все возможные решения уравнения abbc*cdde=faeecfac
Задача 4. Найти все значения х, удовлетворяющие уравнение acx2-(ad+bc)x+bd=0, где ac=1, bd=4, a+b=102010, c+d=10-2009
Задача 5
Привести пример заполнения действительными числами таблицы 5*5 такой,что:
1)произведение чисел в любой строке равно 1
2)произведение чисел в любом столбце равно 1
3)произведение чисел в любом из 9 квадратов 3*3 внутри данной таблицы равно 2
Задача 6
Прямоугольная таблица 16*5 раскрашена в три цвета. Всегда ли найдется прямоугольник со сторонами .параллельными краям таблицы, и вершинами одного цвета?
Задача 7
В квадратной таблице 6*6 расположены числа 1,2,..36 так, что сумма двух соседних (имеющих общую сторону) чисел не превосходит S. Найдите наименьшее S , при котором это возможно, и как.
Задача 7
В квадратной таблице 6*6 расположены числа 1,2,..36 так, что сумма двух соседних (имеющих общую сторону) чисел не превосходит S. Найдите наименьшее S , при котором это возможно, и как.
Задача 8
Доказать, что такую последовательность равенств можно продолжать бесконечно:
1 + 2 = 3
1*2 + 2*3 + 3*4 = 4*5
1*2*3 + 2*3*4 + 3*4*5 + 4*5*6 = 5*6*7
...
Задача 1
ОтветитьУдалитьОтсечём от прямоугольника 2010х2012 слева и справа по 2 колонки. В них содержится 3*4=12 клеток. Остаётся 2008 колонок. 2006 из них имеют по 6 клеток (3 сверху и 3 снизу). В центре области пересекаются, образуя область в 2 колонки 2*4=8 клеток (это видно, если закрасить подобным образом любой прямоугольник, например 6х8).
Итого 2006*6+12+8=12056 клеток
Задача 2
ОтветитьУдалитьПредставим спираль, которая нумеруется числами от 1 до бесконечности. На 100 клетке будет число х. Искомая цифра будет остатком от деления числа х на 5.
Исследуем новую спираль. На 1 клетке выше метки число 8, на 2-й - 23, на 3-й - 46 и т.д. Легко определить закономерность. На n-й клетке имеем число 4*n(n+1)-(n-1)=4n^2+3n+1.
Для n=100 получаем 4*100^2+3*100+1
Остаток от деления данного числа на 5 есть число 1, которое и будет на 100-й клетке выше метки в изначальной спирали.
Ответ: 1
В задаче 1 ошибка
ОтветитьУдалить"Прямоугольник размерами 2012х2010"
Задача 1
ОтветитьУдалитьОтвет: 12056.
6*2010-4 (4 теряются при наложении в месте пересечения).
P.S. В условии "2010х2010", а на рисунке "2010х2012". Верно, видимо, второе.
Nazva получает 5+5+10=20 баллов.
ОтветитьУдалитьОбласть переходит к Nazv'e, которая должна в течение следующего хода укрепить её задачами
Smekalka получает 3 балла
ОтветитьУдалитьУкрепление
ОтветитьУдалить===Условие
Найти все значения х, удовлетворяющие уравнение
acx^2-(ad+bc)x+bd=0, где
ac=1, bd=4, a+b=10^2010, c+d=10^(-2009)
===Решение
(a+b)(c+d)=10
ac+ad+bc+bd=10
ad+bc=10-ac-bd=10-1-4=5
Решаем уравнение
x^2-5x+4=0
Получаем x1=1 x2=4
Укрепление табличной бухты
ОтветитьУдалить===Условие
abbc, cdde, faeecfac - натуральные числа. a,b,c,d,e,f - различные цифры, составляющие эти числа.
Найдите все возможные решения уравнения abbc*cdde=faeecfac
===Решение
Признак делимости на 11: "На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число, делящееся на 11."
Правое число подходит под условие делимости [c+f+e+a=a+c+e+f], т.е. делится на 11. Для выполнения равенства одно из чисел слева также должно делиться на 11. Проверяем:
(с+b)-(b+a) Є 0 (mod 11)
с-a Є 0 (mod 11), т.е. либо a=c, либо c-a=11, чего быть не может
Второе число проверяем также. Оба не делятся на 11.
Таким образом равенство неверно для любых возможных чисел.
Ответ: нет решений
За удержание области в течение хода Назва получает +1 балл
ОтветитьУдалитьЗадача 4.x2-5x+4=0 х=1 или х=4
ОтветитьУдалитьЗадача 3.Ни одного примера такого вида невозможно, произведение делится на 11, а ни один из сомножителей не делится
ОтветитьУдалить(E-science)
E-science получает 10+5+5=20 баллов и область
ОтветитьУдалить6) Да
ОтветитьУдалить16*5 > 26*3, значит будет цвет с 27 клетками
Но максимальное количество клеток на доске 16*5, не образующих прямоугольник, равно 26, т.к. возможно не более С(5,2) столбцов с двумя клетками, остальные столбцы по одной клетке.
(Назва)
Задача 5
ОтветитьУдалитьПусть 1,2,3,4,5 - строки, A,B,C,D,E, - столбцы.
Обозначим операцию произведения чисел таблицы как П(левый_верхний_угол:правый_нижний_угол)
П(A1:C3)=2 (по условию)
П(А1:С5)=1 (по условию)
->П(А4:С5)=0,5
П(А3:C5)=2 (по условию)
->П(А3:C3)=4
Если пойти с противоположной стороны, то получим
->П(С3:Е3)=4
->C3=16, П(А3:B3)=1/4, П(D3:E3)=1/4
Итого общий вид таблицы: в центре 16, произведение пар чисел выше, ниже, слева и справа от центра дают по 1/4, произведение чисел в углах 2х2 дают по 2.
Одним из вариантов может быть такой:
http://img263.imageshack.us/img263/6531/80607919.jpg
Центр=16, сверху, снизу, справа и слева от центра = 1/2, в углах корень четвёртой степени с 2.
Задача 7
ОтветитьУдалитьПредставим таблицу в виде шахматной доски 6х6.
С левого верхнего угла записываем числа 1,2,3 и т.д. вправо по клеткам одного цвета и так змейкой к самому низу.
Далее с правого верхнего угла записываем числа 36,35,34 и т.д. по тому же принципу.
Получим таблицу, у которой сумма соседних чисел не превышает число 40.
http://img222.imageshack.us/img222/2418/39312868.jpg
Причём такой вариант не единственный, но сумма 40 минимальная.
Задача 6
ОтветитьУдалитьЛегко заметить, что в таблицу прямоугольной формы NxM можно разместить N+M-1 объектов так, чтобы они не составляли прямоугольник.
Т.о. в таблице 5х16 можно закрасить всего 5+16-1=20 ячеек так, чтобы они не составляли прямоугольник. Поскольку цветов 3, то подобным образом можно закрасить всего 20*3=60 ячеек из 80-ти.
Ответ: такой прямоугольник найдётся всегда.
Задача 5 решена
ОтветитьУдалитьЗадача 7 нуждается в доказательстве минимальности S=40
Задача 6 - неверно
Назва получает +5 баллов
E-science +1 балл
Задача 6
ОтветитьУдалитьДля того, чтобы не было прямоугольников, необходимо, чтобы в столбцах таблицы не было совпадающих пар цветов.
Пронумеруем строки таблицы от 1 до 5.
Различных пар существует 10: 12,13,14,15,23,24,25,34,35,45. В оставшихся 6-ти столбцах пар быть не может.
Итого имеем максимальное количество клеток, которые можно закрасить одним цветом = 10*2+6 = 26
Тремя цветами можно закрасить 26*3=78 клеток, а их 80.
Ответ: такой прямоугольник найдётся всегда.
Дополнение: причём как минимум два прямоугольника.
ОтветитьУдалитьЗадача 7
ОтветитьУдалитьЧтобы доказать, что 40 - наименьшая сумма, достаточно рассмотреть три числа из таблицы: 36,35 и 34. Минимальное количество "соседей" у этих трёх чисел - 6, и невозможно расположить их так, чтобы уменьшить количество соседей.
Возьмём 6 минимальных чисел 1,2,3,4,5,6, которые могут быть "соседями" выбранной тройки. Т.е. число 6 обязано быть соседом какому-либо из трёх выбранных чисел. Минимальная сумма таких соседей - 34+6=40.
Существование квадрата с суммой 40 доказано примером.
http://img222.imageshack.us/img222/2418/39312868.jpg
Задача 7."36,35 и 34. Минимальное количество "соседей" у этих трёх чисел - 6" Это неверно, может быть 5, когда числа примыкают к углу.Например, поставить на Вашей же картинке 34 на место 31. Доказательство не закончено
ОтветитьУдалитьЭтот комментарий был удален автором.
ОтветитьУдалитьНазва получает +5 баллов (продолжение атаки на задачу 7 - с начало следующего хода)
ОтветитьУдалитьE-science получает +1 балл
Задача 7 (пока повторяем решение, может позже найдём лучшее)
ОтветитьУдалитьМинимальное количество соседей у чисел 36,35,34,33,32 - 8.
Минимальная сумма в данном случае 32+8=40.
Назовем числа <=18 - маленькими, а >18 - большими.
ОтветитьУдалитьИспользуем маленькие числа по возрастанию, а большие - по убыванию.
Так, чтобы соседями маленьких были только большие и наоборот.
Допустим со всех сторон от таблицы нули.
Назовем угол таблицы углом0.
Ставим (36) в угол, это очевидно.
Возле 36 должно разместиться два маленьких числа (допустим 1 и 2)
Это образует три новых угла:
угол+1, угол+2 и угол+3.
кроме того, у нас еще осталось три угла0,
однако, не зависимо от того, разместим мы числа 35, 34,33 в углах0 или в углах+1,+2,+3, уже имеющуюся сумму в 38 это не превысит.
Допустим мы выбрали последний вариант, т.к. в этом случае большие числа имеют на два маленьких соседа меньше.
36 1 35
2 33
34
Размещаем маленькие числа
36 1 35 3
2 34 4
33 5
6
Образовалась сумма 39, это позволит допустить, что мы использовали рядом с (36) не 1, а 3
36 3 35 4
2 34 1
33 5
6
образовались углы: +6, +11,+4,+5,+6.
Однако, после расположения числа 32 (где бы то ни было), мы должны и его обеспечить двумя соседями, одним из которых будет число 8. Т. е. минимальная сумма уже 40.
Квадрат можно взять такой же, как и у господина Maqtux.
Считаем оба поста правильными. А чемоданы были давно собраны, еше на предыдущем ходе :)
ОтветитьУдалитьНазва получает 5+10=15 баллов и область
ОтветитьУдалитьArmless получает 3 балла
Решения, полученные по ЛС от E-science:
ОтветитьУдалить=======================================================
========================================================
8/ Доказать, что такую последовательность равенств можно
продолжать бесконечно:
1 + 2 = 3
1*2 + 2*3 + 3*4 = 4*5
1*2*3 + 2*3*4 + 3*4*5 + 4*5*6 = 5*6*7
...
=======================================================
Задача сводится к равенству $\sum_{m=0}^kC^k_{m+k}=C^{k+1}_{2k+1}$
Докажем эту формулу комбинаторно. Пусть разложены 2k+1 элементов, выберем k+1. Выбирать их можно сразу, а можно, выбрав самый левый элемент( отстоящий на m от середины), выбирать далее k элементов из k+m, m=0...k
Для получения равенств, требуемых в условии, умножим обе части на k!
Получим $\sum_{m=0}^k \frac{(m+k)!}{m!}=\frac{(2k+1)!}{(k+1)!}$ при любом натуральном k
========================================================
========================================================
9/ Угадайте сколько в моём альманахе страниц (нумерация с 1 без ведущих нулей) при условии:
Если посчитать количество цифр в номерах страниц, то их будет 333.
Если посчитать количество троек в номерах страниц, то их будет 333.
========================================================
Всего в альманахе 147 страниц, именно столько страниц получается с использованием ровно 333 цифр.
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Пояснения.
Какие "тройки" считались, сказать сложно.
Можно предположить следующее.
Цифр 3 среди номеров первых 147 страниц 35.
Есть одна тройка с тремя единицами - 111.
Есть 145 троек страниц с номерами, идущими подряд, т.е. 1,2,3 или 2,3,4 или 3,4,5 и т.д.
Возможно, это шутка. Например, посчитать предложили детям, младшего школьного возраста или детсада. Кто-то считал тройками страниц, кто-то тройками листов. Еще один искал тройки в восьмерках и т.д.
Получаем, если ответ 147, то наше решение отвечает условиям.
========================================================
========================================================
10/ Некоторая функция определена для всех натуральных аргументов 100000<=X<=999999. Вот некоторые её значения: f(100000)=40 f(384891)=85 f(418703)=32 f(504704)=67 f(619919)=0 f(827190)=3 Найдите все возможные аргументы функции, при которых она имеет максимальное значение, если известно, что минимальное её значение = 0. Также известно, что в значениях функции не может быть цифры 1.
========================================================
Функция задана -это 900 000 целых неотрицательных чисел=упорядоченный список ее значений, ни в одном из этих 900 000 чисел нет единиц. Максимальное значение она может иметь при нескольких значениях аргумента, даже одновременно при 899 995 значениях аргумента, отличных от 100 000, 418703 , 504 704, 619919, 827190, а именно fmax=85.
А в остальных 5 заданных значениях аргумента не может быть максимум.
Ответ:100 001, ... 418 702, 418 704 ,... 504 703 , 504 705 ,... 619 918, 619 920 , ... 827 189, 827 191,...999 999
всего в списке 899995 чисел
==========================================================
E-Science получает 5 баллов, остальные задачи устояли.
ОтветитьУдалитьНазва +1 балл за сохранение области
К задаче 10 даю ещё 5 значений на сгенерированные случайным образом аргументы:
ОтветитьУдалитьf(291214)=22
f(191015)=2
f(245269)=30
f(907204)=4
f(672197)=40
Кроме отсутствия единиц известно также то, что значение функции не может быть более двух цифр.
Задача 1.Отсечём от прямоугольника 2010х2012 слева и справа по 2 колонки. В них содержится 3*4=12 клеток. Остаётся 2008 колонок. 2006 из них имеют по 6 клеток (3 сверху и 3 снизу). В центре области пересекаются, образуя область в 2 колонки 2*4=8 клеток (это видно, если закрасить подобным образом любой прямоугольник, например 6х8).Отсечём от прямоугольника 2010х2012 слева и справа по 2 колонки. В них содержится 3*4=12 клеток. Остаётся 2008 колонок. 2006 из них имеют по 6 клеток (3 сверху и 3 снизу). В центре области пересекаются, образуя область в 2 колонки 2*4=8 клеток (это видно, если закрасить подобным образом любой прямоугольник, например 6х8).
ОтветитьУдалитьИтого 2006*6+12+8=12056 клеток
Итого 2006*6+12+8=12056 клеток