Чтобы занять область, нужно решить 2 задачи:
Задача 12
Найти наименьшее натуральное число, которое тремя способами представляется в виде разности квадратов двух соседних простых чисел. Например,72=112-72=192-172 представляется только двумя способами
Задача 14
Турист и Абориген продолжают играть в ракушки
Туристу никак не удается выиграть и он придумывает новые условия:
Пусть будет так - за один ход можно взять 1, N1 или N2 ракушек, выигрывает тот, кто забирает последнюю. В начале розыгрыша в куче M ракушек,
Ты называешь число M<500, а я после этого N1 и N2. Далее ты ходишь первым.
Абориген немного подумал и сказал - хорошо, только N2<12 и еще я назову число A, которое ты не сможешь выбрать как N2.
Турист согласился.
Какие M и A нужно выбрать Аборигену, чтобы выиграть и на этот раз?
К карте математического острова
Решенные задачи:
Задача 1. Назовём тройку простых чисел особенной, если их произведение впятеро больше суммы. Сколько существует таких особенных троек?
Задача 2. Вася задумал некоторое натуральное число, возвёл его в шестую степень, а затем выписал в порядке возрастания все цифры полученного числа. Получилась запись 0, 2, 3, 4, 4, 7, 8, 8, 9. Какое число задумал Вася?
Задача 3. Число X - натуральное 10-значное число, в котором все цифры различны, и делящееся на 36. Назовите наименьшее число, удовлетворяющее условию.
Задача 3. Число X - натуральное 10-значное число, в котором все цифры различны, и делящееся на 36. Назовите наименьшее число, удовлетворяющее условию.
Задача 4
Найти все простые числа p такие, что 2p+2010 делится на р
Задача 5
Сколько существует простых чисел в бесконечной последовательности
1+1
1+1+(1+2)
1+1+(1+2)+(1+2+3)
1+1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)
Задача 6
Является ли простым число
Задача 7
В результате драки с вашим коллегой за листок с магическим квадратом 6х6 (сумма равна для всех вертикалей, горизонталей и обеих диагоналей), состоящим сплошь из не повторяющихся простых чисел, у вас в руках остался обрывок, содержащий:
3 | 5 | 47 | 109 | 131
89 | 73| 53 | 97
151 |167| 83
71 |41
17
Но вам и этого хватит, для восстановления квадрата , правда?
(в ответе, кроме слова "да", хотелось бы увидеть любой, удовлетворяющий условиям, магический квадрат)
3 | 5 | 47 | 109 | 131
89 | 73| 53 | 97
151 |167| 83
71 |41
17
Но вам и этого хватит, для восстановления квадрата , правда?
(в ответе, кроме слова "да", хотелось бы увидеть любой, удовлетворяющий условиям, магический квадрат)
Задача 8
Заполните правильно пропуски:
?, 15, 21, ?,27, 35, ?, 45, 51, ?, 57, 65, ?, 75
?, 15, 21, ?,27, 35, ?, 45, 51, ?, 57, 65, ?, 75
//По традиции оценивания задач на последовательности, засчитываются и не совпадающие с загаданным правила, если те не используют для своего вывода всех известных членов
Задача 9
Население страны ежегодно уменьшается на 1/70. Через сколько лет население страны станет вдвое меньше?
Задача 10
Найти наименьшее число, записываемое одними единицами, которое делилось бы на 333…3 (сто троек).
Задача 11
Мяч, ударяясь о землю, отскакивает и поднимается на 2/3 высоты, с которой падал. Если в первый раз он упал с высоты 8.1 м, то после скольких отскакиваний он поднимется на 1.6 м?
Задача 13
Из бесконечной последовательности
1,
1+(1+2),
1+(1+2)+(1+2+3),
1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4), ...
выбрать бесконечную подпоследовательность, все числа которой попарно взаимно просты.
Задача 2
ОтветитьУдалитьОтвет: 27.
Простой подбор с калькулятором. В 6-й степени числа 9 знаков - для этого оно должно быть где-то между 22 и 31. Проверяем эти числа, находим, что годится 27.
Задача 1
ОтветитьУдалитьxyz=5(x+y+z)
xyz делится на 5, значит одно из чисел = 5.
х=5
yz=5+y+z
yz-y-z-5=0
y(z-1)-(z-1)-6=0
(y-1)(z-1)=6
6 раскладывается на множители 1*6 и 2*3
y-1=1 -> y=2, z-1=6 -> z=7
y-1=2 -> y=3, z-1=3 -> z=4 - не простое число
Итого такая тройка единственная 2,5,7
Задача 2
ОтветитьУдалитьСумма цифр результата = 45, т.е. делится на 9. Значит исходное число делится на 3.
20^6=64000000
30^6=729000000
Искомое число лежит между 20 и 30 (21,24 или 27).
21 быть не может, так как любая степень числа, заканчивающегося на 1 заканчивается на 1, а цифры 1 нет в записи.
24 быть не может, так как любая чётная степень числа, заканчивающегося на 4 заканчивается на 6, а цифры 6 нет в записи.
Загаданное число 27.
1) произведение двух минимальных чисел из этой тройки не должно превосходить 15, иначе сумма будет меньше 3*m а произведение больше 15*m(m- максимальное число из этой тройки), то есть произведение больше суммы более чем в 5 раз. Под данное условие подпадают 3 пары мининимальных чисел
ОтветитьУдалитьа) 2 и 3. Но, решая уравнение (2+3+m)*5=2*3*m, получаем m=25 не простое число. значит это не особенная тройка
б) 2 и 5. Решая уравнение (2+5+m)*5=2*5*m, получим m=7. То есть 2, 5, 7 - особенная тройка простых чисел.
в) 2 и 7. (2+7+m)*5=2*7*m. m=5. Но 5 не максимальное число из этой тройки.
Ответ: 1 особенная тройка (2, 5, 7).
2)Максимальное число составленное из этих цифр - 988744320
ОтветитьУдалитьМинимальное 203447889. Корни 6 степени из этих чисел соответственно 31.56... и 24.25... Таким образом
25<=x<=31. Перебирая натуральные числа из этого промежутка и возводя их в 6 степень получаем
27^6=387420489
Ответ: 27
Smekalka получает 5 баллов,
ОтветитьУдалитьNazva получает 5+3+10=18 баллов
zhekas получает 3+3=6 баллов
Область переходит к Nazv'e, которая должна в течение следующего хода укрепить её задачами
Укрепление мыса простых чисел
ОтветитьУдалить===Условие
Число X - натуральное 10-значное число, в котором все цифры различны, и имеет свойство X Є 0(mod 36).
Назовите наименьшее число, удовлетворяющее условие.
===Решение
Число делится на 36 тогда и только тогда, когда оно делится на 9 и на 4. Сумма всех десяти цифр делится на 9, поэтому любое число, в записи которого участвуют все 10 цифр по одному разу, делится на 9. Наименьшим таким числом является число 1023456789. Но оно не делится на 4 (число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на 4). Нужно добиться делимости на 4, минимально уменьшив при этом число.
Если цифру 6 перенести в конец числа, то получившееся число 1023457896 будет делится на 4. Оно и будет наименьшим возможным (если в конец переносить 8, то также нужно переносить 4).
Ответ: 1023457896
1023456789- наименьшее 10значное вообще, а это 1023456798 всего на 9 больше его и делится на 36
ОтветитьУдалитьИен. Я думаю не запостится, глючит
Назва получает +1 балл за удержание провинции
ОтветитьУдалитьЗапостилось. Правильный ответ 1023457896, а тот что был на 4 не делился. Ну проехали. E-sciense
ОтветитьУдалитьА мы из нее уже область захватили,вроде.
ОтветитьУдалитьE-science получает 5+10=15 баллов и область
ОтветитьУдалитьЗадача 6.
ОтветитьУдалить2^15 оканчивается на 8
3^15 оканчивается на 7
Их сумма оканчивается на 5
2^5 оканчивается на 2
3^5 оканчивается на 3
Их сумма оканчивается на 5
Разность этих двух чисел оканчивается на 0, т.е. является числом составным.
Ответ. Нет, не является.
Оу, мы же не можем туда атаковать((
ОтветитьУдалитьГенерал, мы потом перепошлем решения.
E-science +1 балл за сохранение территории
ОтветитьУдалить2^p -2 делиться на p из малой теоремы Ферма.
ОтветитьУдалить2^p +2010 = 2^p -2 + 2012. Значит ответом будут все простые делители 2012. 2012 = 4*503. 503 - простое. Значит ответ 2 и 503.
Задача 5. Обозначим эту последовательность через A_n и A_0 = 1. Пускай S_n = 1+ 2+ .. + n. Тогда
ОтветитьУдалитьA_n = A_{n-1} + S_n. Значит
A_n = S_n + S_n-1 +..+S_1 + A_0. S_n = n(n+1)/2.
Тогда A_n = 1 + 0.5*(1^2 + 2^2+...+n^2+ 1+2+...+n)
Поскольку 1^2+2^2+..+n^2 = (n)(n+1)(2n+1)/6, то
A_n = (n^3 +3n^3+2n+6)/6 , что в свою очередь даёт
A_n = (n+3)(n^2+2)/6. При n>3, оба множителя в числителе больше, чем 6, значит член послдовательности не простое число. При n<= 3 проверяем и видим, что A_1 =2, A_2=5, A_3 = 11. Все простые. Значит ответ 3.
Tifuera, поздравляем! Что уж 6ю-то? Тогда бы мы и увидели какие у Вас есть задачи...
ОтветитьУдалитьЗадача 6
ОтветитьУдалитьСчитаем. Получается 52297. Число делится на 7.
Ответ: Нет.
Tifuera получает 5+5=10 баллов
ОтветитьУдалитьArmless, вы подключились к игре на этапе проверки решений. Т.к. это ваш первый ход, я принял решение зачесть задачу и область, в дальнейшем напоминаю, что ход длится 2 суток и состоит из двух этапов: отправка решений и проверка их игроками-владельцами атакованных провинций.
Armless получает 5+10=15 баллов и область.
Решение задачи 6
ОтветитьУдалитьhttp://mathurl.com/3yg8y8x
Число делится на 7, значит не простое.
Вычислять выражения 15 степени, это не по-математически.
Вычислять выше 5й и уметь не надо. Числитель делится на 2^3+3^3=35,в частности на 7 а знаменатель (375) нет. Для того и задана.
ОтветитьУдалитьМой вариант плох? У меня всего лишь вторые степени.
ОтветитьУдалитьВариант Назвы:
ОтветитьУдалитьhttp://s016.radikal.ru/i337/1010/a9/adea616f6e9e.png
"В результате драки с вашим коллегой за листок с магическим квадратом..." очевидно, в результате драки с Е-science)))
Задача 8:
ОтветитьУдалитьЧисла таковы, что если отнять удвоенное число десятков - получится простое число:
15 - 2 =13; 21-4=17; 45-8=37 и т. д.
не хватает чисел 13 (13-2=11), 23 (23-4=17), 37 (37-6=31), 53 (53-10=43) и 73 (73-14=59).
Ответ: 13; 23; 37; 53; 73.
8) простые числа в восьмеричном виде
ОтветитьУдалить(назва)
7. Квадрат
ОтветитьУдалить3 5 47 109 131 137
89 73 53 97 61 59
151 167 83 7 1 13
71 41 107 103 67 43
17 19 29 79 139 149
101 127 113 37 23 31
8.Это последовательные простые числа с 11 до 61, но записанные в восьмеричной СС.Пропущенные тоже пишем в восьмеричной
13, 15, 21,23 ,27, 35, 37, 45, 51, 53, 57 65, 73, 75
http://s016.radikal.ru/i337/1010/a9/adea616f6e9e.png А что там было, потому что сейчас ничего.Злые люди с ЕS украли и картинку и область...
ОтветитьУдалитьX комментирует...
ОтветитьУдалитьhttp://s016.radikal.ru/i337/1010/a9/adea616f6e9e.png А что там было, потому что сейчас ничего.Злые люди с ЕS украли и картинку и область...
А у меня все видно, поэтому ни картинки, ни области не будет.
А вот что будет, варианты на http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=24474&st=0 Господа,я жду извинений и покаяний
ОтветитьУдалитьДело в другом. У нас остался только один противник, владеющий двумя (пусть даже с этой- тремя) областями. Такие действия не бывают неумышленными. С кем играем??? Пора кончать игру (это я лично за себя тут говорю, согласовывать некогда), а General-у подумать о правилах на следующую (почитаю ох внимательно)
ОтветитьУдалитьИграете вы с такими же людьми, как и вы сами. Просто у вас форум естественнонаучный (т.е. в первую очередь математический), а у нас форум логических головоломок.
Такие действия бывают результатами сбоя Радикала. Я эту картинку видел в "Октябрь 31, 2010, 00:03:17". Могу на форуме Генералу процитировать ЛС.
До свидания.
Ох, некстати у меня инет закончился (сегодня после работы заплачу).
ОтветитьУдалитьТоварищи, не нужно искать в действиях соперников злой умысел. Конкурс организован в первую очередь для того, чтобы сплотить наладить межфорумные связи, порешать интересные задачи, ну и, конечно же, посоревноваться в их решении и загадывании.
И прекращать игру сейчас я не хочу: сказано было - занять весь остров, значит будем играть до занятия всего острова. Вам ведь не надоела игра?
Вдруг завтра высадит десант какой-то неизвестный доселе форум или математик-вольный стрелок и захватит всё побережье?
"В результате драки с вашим коллегой за листок с магическим квадратом..."
ОтветитьУдалитьМ-м-мда, слова оказались пророческими:)
"Господа,я жду извинений и покаяний"
Покаяний не будет - будет призыв к взаимоуважению.
1. Математические маневры – новая игра, ни во что подобное, насколько мне известно, математики в интернете не играли. И эти, первые маневры служат двоякой цели: собственно соревнование и обкатка принципов проведения подобных игр. Поэтому я ценю вклад и интерес каждого участника. Все ситуации, происходящие в игре, позволят сформулировать справедливіе правила, установить тематику задач, выяснить человеко-временные затраты на организацию, возможности автоматизации и другие аспекты. Поэтому я прошу участников не бросать игру на полдороге.
ОтветитьУдалить2. По умолчанию играют джентльмены (ну и леди, хотя пока таковые в решении матемматических задач конкурса замечены не были). А даже если были какие-то махнации – вы смотрели мультсериал Wacky Races? Там наглядно показывается, что если применять нечестные приёмы, к победе это не приведёт.
3. Считаю полемические приёмы: «Мы не математические, а логические задачи решаем» и «Да что вы там нам напридумываете, легкотню какую-то» как неспортивные. Игра есть игра, а соперник есть соперник, и необходимо проявлять уважение.
4. [режим дружеского подзуживания вкл]E-science, вы что, не можете ещё каких-то жалкие 3 провинции захватить и показать им, что даже был нечестный трюк, то это не момогает? Nazva, как это вы, решая логические задачи позволили чистым математикам так вас обставить?[режим дружеского подзуживания выкл]
1.Математические маневры – новая игра, ни во что подобное, насколько мне известно, математики в интернете не играли. И эти, первые маневры служат двоякой цели: собственно соревнование и обкатка принципов проведения подобных игр. Поэтому я ценю вклад и интерес каждого участника. Все ситуации, происходящие в игре, позволят сформулировать справедливіе правила, установить тематику задач, выяснить человеко-временные затраты на организацию, возможности автоматизации и другие аспекты. Поэтому я прошу участников не бросать игру на полдороге.
ОтветитьУдалить2.По умолчанию играют джентльмены (ну и леди, хотя пока таковые в решении матемматических задач конкурса замечены не были). А даже если были какие-то махнации – вы смотрели мультсериал Wacky Races? Там наглядно показывается, что если применять нечестные приёмы, к победе это не приведёт.
3.Считаю полемические приёмы: «Мы не математические, а логические задачи решаем» и «Да что вы там нам напридумываете, легкотню какую-то» как неспортивные. Игра есть игра, а соперник есть соперник, и необходимо проявлять уважение.
4.[режим дружеского подзуживания вкл]E-science, вы что, не можете ещё каких-то жалкие 3 провинции захватить и показать им, что даже был нечестный трюк, то это не момогает? Nazva, как это вы, решая логические задачи позволили чистым математикам так вас обставить?[режим дружеского подзуживания выкл]
Получен ответ администратора Радикала.
ОтветитьУдалитьВозможности подмены изображения там нет.
Назва получает 5+5+10=20 баллов и область
E-science получает 3+3=6 баллов
Вот решения, полученные на 11 ходу по ЛС:
ОтветитьУдалить11. На 4-ом подскоке мяч поднимется на 1,6 м.
9. На 48-ом году население составит 50,1%, а на 49-м - 49,4%
10. Искомый репьюнит делится на сотый репьюнит, значит его номер делится на 100. Он делится и на три, по признаку делимости его номер делится на 3. Значит, это число из 300 единиц
Задача 13
ОтветитьУдалитьm-ый член этой последовательности равен
m(m+1)(m+2)/6
(доказывается по индукции)
Пусть уже выбраны k членов искомой подпоследовательности
a_1, a_2, ..., a_k
которые попарно взаимно просты и которые не делятся ни на 5, ни на 7 (например, базой индукции можно считать k=1, a_1 = 1)
Покажем, что можно выбрать ещё один член, взаимнопростой со всеми предыдущими, и который тоже не делится ни на 5, ни на 7
Для этого вычислим произведение всех предыдущих членов
P = a_1*a_2*...*a_k
P взаимно просто с 35, поэтому существует число С, взаимно простое с 35, такое что (C*P-1) делится на 35 (т.е., взяли обратное по модулю)
Заметим, что тогда оба числа
(C*P+1) и (C*P+2) не делятся ни на 5, ни на 7
Тогда возьмём в качестве a_(k+1) m-ый член исходной последовательности при
m=6*(C*P+1)-1
Проверим:
m(m+1)(m+2)/6 =
= (C*P+1)*(36*((C*P+1)^2)-1) =
= (C*P+1)*(35+P*C*36*(C*P+2))
очевидно, это произведение взамно просто со всеми предыдущими членами подпоследовательности, т.к. обе скобки взаимно просты с P, а также обе скобки не делятся ни на 5, ни на 7
(назва)
Назва +5 баллов
ОтветитьУдалитьЗадача 12.
ОтветитьУдалитьТак как разность между квадратами чисел с увеличением чисел также увеличивается, для того, чтобы она оставалась такой же, нужно уменьшать разницу между числами. Так как числа простые, разница между числами первой пары должна быть не меньше 6.
Дальше просто проверяем такие пары.
23 и 29 - не подходит (77 составное)
31 и 37 - не подходит (49 составное)
552=47^2-41^2=71^2-67^2=139^2-137^2
Задача 12.
ОтветитьУдалитьВ условии 2-х СОСЕДНИХ простых чисел, 41 и 47 - не соседние, между ними 43.
Все не так просто.
Блин, забыл)))
ОтветитьУдалитьБудем дальше искать))
Задача 12.
ОтветитьУдалитьОтвет: 1848
1848= 157^2-151^2= 233^2-229^2= 463^2-461^2
Я пишу первый раз и вапще не зарегистрировался но если мне кто нибудь объяснит как это сделать и, возможно, ещё позовет в свой форум или как там называется - буду очень рад))
Андрей "10Б" ;)
Точно, это оно :) (Прошу прощения, только сейчас ответил, долго не выбирался в блог).
ОтветитьУдалитьЕщё стоит доказать, что это число минимальное.
А по поводу регистрации - я специально сделал так, чтобы можно было писать без неё, чтобы лишний раз людей не напрягать. Вообще - очень рекомендую посетить математические форумы - участники этих Маневров. Ну и на мои другие блоги добро пожаловать (справа сверху ссылки "Другие проекты").
Задача 8.
ОтветитьУдалитьМы нашли две закономерности. В результате чего мы определили, что числа через один кратны 5-и и соблюдают повторение десятков, то есть 15, 25, 35, и т.д. После мы определили, что второй ряд (оставшиеся числа) кратны 3-м и тоже наблюдалась последовательность, например 12(число которое мы нашли ), 21, 27 и 42(число которое мы нашли), 51,57. Весь ряд по нашему (с отцом) мнению 12, 15, 21, 25, 27, 35, 42, 45, 51, 55, 57, 65, 69, 75. Если я не прав исправьте!