Чтобы занять область, нужно решить 3 задачи:
Задача 7
Кубическая парабола y=x3+ax2+bx+c касается как параболы у=х2, так и параболы у=х2+1. При этом плоскость делится на несколько областей, ровно 2 из которых ограничены. Какие значения может принимать отношение их площадей?
Задача 8
На плоскости дана произвольная парабола. Из точки А снаружи параболы проведены к ней касательные AP и AQ (что означает, что точки P и Q лежат на параболе). На прямой PQ взята вне параболы точка В, из нее проведены касательные ВМ и ВN. Доказать, что точка А лежит на прямой MN.
Задача 9
Кубическая парабола вида y=ax3+bx2+cx+d пересекает ось х в трех точках, координаты двух самых правых (m,0) и (n,0) известны. Из третьей точки пересечения проведена касательная к параболе. Найти выражение х-координаты точки касания через m,n
К карте математического острова
Решённые задачи:
Задача 1. Найдите все значения k, при которых прямая
Задача 2. Ордината вершины параболы
Задача 3 Три окружности с радиусами 1, 2, и 3 попарно касаются друг друга внешним образом. Найти длину большей дуги наименьшей окружности, ограниченной точками касания
Задача 4 Основание дома - прямоугольник 4м x 6м. На улице к одному из углов дома привязали собаку на веревку длинной 10м. Найти площадь участка по которому может гулять собака
Задача 5 Разница площадей двух квадратов равна 2011. Назовите длины сторон квадратов.
Задача 6
Лягушка прыгает по координатной плоскости. Каждый прыжок параллелен одной из координатных осей и имеет длину 1. Сколько на плоскости точек, в которых лягушка может оказаться, сделав ровно 10 прыжков
1) При любом k прямая касается параболы в точке
ОтветитьУдалитьx=k/2a
2)Длина отрезка, отсекающегося от оси абсцисс параболой 2sqrt(7)=5.29..... Вданный отрезокмогут попасть максимум 6 целых точек.
Ответ: 6
zhekas получает 5+5+10=20 баллов.
ОтветитьУдалитьОбласть переходит во владение zhekas, где в течение следующего хода необходимо установить укрепления.
//Учитывайте, что другие конкурсанты могут потребовать более развёрнутого описания того, как вскрывалась их оборона :)
Задача №1
ОтветитьУдалитьТри окружности с радиусами 1, 2, и 3 попарно касаются друг друга внешним образом. Найти длину большей дуги наименьшей окружности, ограниченной точками касания.
Ответ: 3*pi/2
Задача №2
ОтветитьУдалитьОснование дома - прямоугольник 4м x 6м. На улице к одному из углов дома привязали собаку на веревку длинной 10м. Найти площадь участка по которому может гулять собака
Ответ: 88*pi
Задача 4
ОтветитьУдалитьУчасток включает три области:
1) Четверть круга радиуса 6 м
2) Четверть круга радиуса 4 м
3) Три четверти круга радиуса 10 м
пи*(1/4*4^2+1/4*6^2+3/4*10^2)=пи*88 м кв
Задача 3
ОтветитьУдалитьРассмотрим треугольник, вершины которого являются центрами окружностей. Длины его сторон равны сумам радиусов касающихся окружностей:
1+2=3, 1+3=4, 2+3=5
Следовательно треугольник прямоугольный, причём прямой угол находится у центра малой окружности радиуса 1.
Длина дуги 90 градусов = 2пиR*90/360=пи/2
Длина длинной дуги = 2пиR-пи/2=3пи/2
Назва получает 5+5+10=20 баллов!
ОтветитьУдалитьИ, конечно же, контроль над областью
ОтветитьУдалить===Условие
ОтветитьУдалитьРазница площадей двух квадратов равна 2011. Назовите длины сторон квадратов.
===Решение
ОтветитьУдалитьx^2-y^2=2011
(x+y)(x-y)=2011
Число 2011 - простое, поэтому раскладывается только на множители 1 и 2011
x-y=1
x+y=2011
x=1006 y=1005
Параболическая оконечность (укрепление 2)
ОтветитьУдалить===Задача
К некоторому числу прибавили сумму его цифр. С результатом проделали то же самое. Операцию проделали 5 раз и получили 1000. Назовите изначальное число.
===Решение
1) 101x+11y+2z=1000
x=9 -> 11y+2z=1000-909=91
Решаем уравнение, получаем y=2a+1 z=40-11a -> 0 y=7, z=7, x=9 -> 977
2) 11y+2z=977-909=68 -> y=2a z=34-11a -> 0 y=6, z=1, x=9 -> 961
3) 11y+2z=961-909=2 -> y=2a z=26-11a -> 0 y=4, z=4, x=9 -> 944
4) 11y+2z=944-909=35 -> y=2a+1 z=12-11a
a=1 -> y=3, z=1, x=9 -> 931
5) 11y+2z=931-909=22 -> y=2a z=11-11a
a=1 -> y=2, z=0, x=9 -> 920
Ответ: 920
Просьба принимать ответ с обоснованием. Обратной проверки недостаточно.
Параболическая оконечность (укрепление 3)
ОтветитьУдалить===Задача
Имеются купюры номиналом 1, 10, 100 и 1000 рублей.
Сколько существует способов получить миллион рублей из двух тысяч купюр?
===Решение
Числа 1,10,100,1000 при делении на 9 дают остаток 1. Таким образом сумма купюр даёт такой же остаток, как и их количество.
2000 mod 9 = 2
1000000 mod 9 = 1
Ответ: Невозможно получить миллион из 2000 купюр указанных достоинств (обосновать!).
x^2-y^2=2011
ОтветитьУдалить(x+y)(x-y)=2011*1
x+y=2011
x-y=1
x=1006
y=1005
Ответ: 1006 и 1005
Zhekas получает +15 баллов и область
ОтветитьУдалитьЛягушка прыгает по координатной плоскости. Каждый прыжок параллелен одной из координатных осей и имеет длину 1. Сколько на плоскости точек, в которых лягушка может оказаться, сделав ровно 10 прыжков.
ОтветитьУдалитьРешение она будет прыгать по ромбу с вершинами в точках (+-10;+-10). Всего в этом ромбе 221. Однако за 10 прыжков она может попасть только в вершины сумма координат, которых четна. А таких 121
Пусть лягушка находится в центре координат. Рассмотрим одну четверть. Легко заметить, что лягушка может оказаться в любой точке прямоугольного треугольника с катетами на осях 10 и 10. Таких точек 10*11/2=55. Во всех четвертях таких точек 55*4+1=221
ОтветитьУдалитьОтвет: 221
(10+1)^2=121
ОтветитьУдалитьПоправка
ОтветитьУдалитьПусть лягушка находится в центре координат. Рассмотрим одну четверть. Легко заметить, что лягушка может оказаться в любой точке прямоугольного треугольника с катетами на осях 10 и 10, кроме 9-ти. Таких точек 10*11/2-9=46. Во всех четвертях таких точек 46*4+1=185
Ответ: 185
Поправка к решению MagTux!
ОтветитьУдалитьПусть лягушка находится в центре координат. Рассмотрим одну четверть. Легко заметить, что лягушка может оказаться в любой ЧЕТНОЙ точке прямоугольного треугольника с катетами на осях 10 и 10. Таких точек 3+5+7+9+11. Во всех четвертях таких точек (3+5+7+9+11)*4+1=141
Ответ: 141
Прилагается рисунок с геометрическим решением: http://s011.radikal.ru/i315/1010/15/df752d2e154a.jpg
[URL=http://www.radikal.ru][IMG]http://s011.radikal.ru/i315/1010/15/df752d2e154a.jpg[/IMG][/URL]
Этот комментарий был удален автором.
ОтветитьУдалитьБлин! прошу прощения! Поправка к моему решению!
ОтветитьУдалитьПусть лягушка находится в центре координат. Рассмотрим одну четверть. Легко заметить, что лягушка может оказаться в любой ЧЕТНОЙ точке (с четной суммой координат) прямоугольного треугольника с катетами на осях 10 и 10.
Таких точек:
НА КООРДИНАТНЫХ ОСЯХ: (10/2)*4+1=21,
НЕ НА КООРДИНАТНЫХ ОСЯХ: (1+3+5+7+9)*4=100.
Окончательный ответ Назвы: 121.
Плилагается геометрия решения:
http://s014.radikal.ru/i329/1010/b5/5d9f3901e3d3.jpg
Блин! прошу прощения! Поправка к моему решению!
ОтветитьУдалитьПусть лягушка находится в центре координат. Рассмотрим одну четверть. Легко заметить, что лягушка может оказаться в любой ЧЕТНОЙ точке (с четной суммой координат) прямоугольного треугольника с катетами на осях 10 и 10.
Таких точек:
НА КООРДИНАТНЫХ ОСЯХ: (10/2)*4+1=21,
НЕ НА КООРДИНАТНЫХ ОСЯХ: (1+3+5+7+9)*4=100.
Окончательный ответ Назвы: 121.
Плилагается геометрия решения:
http://s014.radikal.ru/i329/1010/b5/5d9f3901e3d3.jpg
Задача 5.
ОтветитьУдалитьПоскольку лягушка может прыгнуть в 4 разные стороны, а потом в 3, так как возращаясь на исходную мы не чего не добиваемся, то 4*3*3*3*3*3*3*3*3*3, то есть 10 прыжков, мы получаем, что есть таких 236196 точек.
(mudrec)
X комментирует...
ОтветитьУдалить(10+1)^2=121
26 октября 2010 г. 22:01
Ответ у меня тот же, но мне не ясен здесь процесс решения....
E-scince получает 5+10=15 баллов и контроль над областью
ОтветитьУдалитьNazva получает 3 балл
Область на ходу 6 заняла E-science. Возводятся укрепления
ОтветитьУдалитьНачался ход 8. Это значит, что мы можем просто занять область. Это мы, собственно, и делаем.
Алексей Извалов писал:
ОтветитьУдалитьОбласть на ходу 6 заняла E-science. Возводятся укрепления.
Однако http://math-zn.blogspot.com/2010/10/6.html
и все это случилось на ходу 7.
Да, это моя ошибка про ход 6, по комментариям: захват произошёл 28.10, это ход 7
ОтветитьУдалить