19 октября 2010

Параболическая оконечность




Чтобы занять область, нужно решить 3 задачи:
Задача 7
Кубическая парабола y=x3+ax2+bx+c касается как параболы у=х2, так и параболы у=х2+1. При этом плоскость делится на несколько областей, ровно 2 из которых ограничены. Какие значения может принимать отношение их площадей?

Задача 8
На плоскости дана произвольная парабола. Из точки А снаружи параболы проведены к ней касательные AP и AQ (что означает, что точки P и Q лежат на параболе). На прямой PQ взята вне параболы точка В, из нее проведены касательные ВМ и ВN. Доказать, что точка А лежит на прямой MN.
парабола

Задача 9
Кубическая парабола вида y=ax3+bx2+cx+d пересекает ось х в трех точках, координаты двух самых правых (m,0) и (n,0) известны. Из третьей точки пересечения проведена касательная к параболе. Найти выражение х-координаты точки касания через m,n

К карте математического острова

Решённые задачи:

Задача 1. Найдите все значения k, при которых прямая уравнение прямой касается параболы уравнение параболы?

Задача 2. Ордината вершины параболы уравнение параболы равна -7. Какое наибольщее число целых чисел может находиться между корнями уравнения квадратное уравнение ?

Задача 3 Три окружности с радиусами 1, 2, и 3 попарно касаются друг друга внешним образом. Найти длину большей дуги наименьшей окружности, ограниченной точками касания

Задача 4 Основание дома - прямоугольник 4м x 6м. На улице к одному из углов дома привязали собаку на веревку длинной 10м. Найти площадь участка по которому может гулять собака

Задача 5 Разница площадей двух квадратов равна 2011. Назовите длины сторон квадратов.








Задача 6
Лягушка прыгает по координатной плоскости. Каждый прыжок параллелен одной из координатных осей и имеет длину 1. Сколько на плоскости точек, в которых лягушка может оказаться, сделав ровно 10 прыжков

28 комментариев:

  1. 1) При любом k прямая касается параболы в точке
    x=k/2a

    2)Длина отрезка, отсекающегося от оси абсцисс параболой 2sqrt(7)=5.29..... Вданный отрезокмогут попасть максимум 6 целых точек.
    Ответ: 6

    ОтветитьУдалить
  2. zhekas получает 5+5+10=20 баллов.

    Область переходит во владение zhekas, где в течение следующего хода необходимо установить укрепления.

    //Учитывайте, что другие конкурсанты могут потребовать более развёрнутого описания того, как вскрывалась их оборона :)

    ОтветитьУдалить
  3. Задача №1
    Три окружности с радиусами 1, 2, и 3 попарно касаются друг друга внешним образом. Найти длину большей дуги наименьшей окружности, ограниченной точками касания.
    Ответ: 3*pi/2

    ОтветитьУдалить
  4. Задача №2
    Основание дома - прямоугольник 4м x 6м. На улице к одному из углов дома привязали собаку на веревку длинной 10м. Найти площадь участка по которому может гулять собака

    Ответ: 88*pi

    ОтветитьУдалить
  5. Задача 4
    Участок включает три области:
    1) Четверть круга радиуса 6 м
    2) Четверть круга радиуса 4 м
    3) Три четверти круга радиуса 10 м

    пи*(1/4*4^2+1/4*6^2+3/4*10^2)=пи*88 м кв

    ОтветитьУдалить
  6. Задача 3
    Рассмотрим треугольник, вершины которого являются центрами окружностей. Длины его сторон равны сумам радиусов касающихся окружностей:
    1+2=3, 1+3=4, 2+3=5
    Следовательно треугольник прямоугольный, причём прямой угол находится у центра малой окружности радиуса 1.
    Длина дуги 90 градусов = 2пиR*90/360=пи/2
    Длина длинной дуги = 2пиR-пи/2=3пи/2

    ОтветитьУдалить
  7. И, конечно же, контроль над областью

    ОтветитьУдалить
  8. ===Условие
    Разница площадей двух квадратов равна 2011. Назовите длины сторон квадратов.

    ОтветитьУдалить
  9. ===Решение
    x^2-y^2=2011
    (x+y)(x-y)=2011
    Число 2011 - простое, поэтому раскладывается только на множители 1 и 2011
    x-y=1
    x+y=2011

    x=1006 y=1005

    ОтветитьУдалить
  10. Параболическая оконечность (укрепление 2)
    ===Задача
    К некоторому числу прибавили сумму его цифр. С результатом проделали то же самое. Операцию проделали 5 раз и получили 1000. Назовите изначальное число.
    ===Решение
    1) 101x+11y+2z=1000
    x=9 -> 11y+2z=1000-909=91
    Решаем уравнение, получаем y=2a+1 z=40-11a -> 0 y=7, z=7, x=9 -> 977
    2) 11y+2z=977-909=68 -> y=2a z=34-11a -> 0 y=6, z=1, x=9 -> 961
    3) 11y+2z=961-909=2 -> y=2a z=26-11a -> 0 y=4, z=4, x=9 -> 944
    4) 11y+2z=944-909=35 -> y=2a+1 z=12-11a
    a=1 -> y=3, z=1, x=9 -> 931
    5) 11y+2z=931-909=22 -> y=2a z=11-11a
    a=1 -> y=2, z=0, x=9 -> 920
    Ответ: 920
    Просьба принимать ответ с обоснованием. Обратной проверки недостаточно.

    ОтветитьУдалить
  11. Параболическая оконечность (укрепление 3)
    ===Задача
    Имеются купюры номиналом 1, 10, 100 и 1000 рублей.
    Сколько существует способов получить миллион рублей из двух тысяч купюр?
    ===Решение
    Числа 1,10,100,1000 при делении на 9 дают остаток 1. Таким образом сумма купюр даёт такой же остаток, как и их количество.
    2000 mod 9 = 2
    1000000 mod 9 = 1
    Ответ: Невозможно получить миллион из 2000 купюр указанных достоинств (обосновать!).

    ОтветитьУдалить
  12. x^2-y^2=2011
    (x+y)(x-y)=2011*1
    x+y=2011
    x-y=1
    x=1006
    y=1005
    Ответ: 1006 и 1005

    ОтветитьУдалить
  13. Zhekas получает +15 баллов и область

    ОтветитьУдалить
  14. Лягушка прыгает по координатной плоскости. Каждый прыжок параллелен одной из координатных осей и имеет длину 1. Сколько на плоскости точек, в которых лягушка может оказаться, сделав ровно 10 прыжков.

    Решение она будет прыгать по ромбу с вершинами в точках (+-10;+-10). Всего в этом ромбе 221. Однако за 10 прыжков она может попасть только в вершины сумма координат, которых четна. А таких 121

    ОтветитьУдалить
  15. Пусть лягушка находится в центре координат. Рассмотрим одну четверть. Легко заметить, что лягушка может оказаться в любой точке прямоугольного треугольника с катетами на осях 10 и 10. Таких точек 10*11/2=55. Во всех четвертях таких точек 55*4+1=221
    Ответ: 221

    ОтветитьУдалить
  16. Поправка
    Пусть лягушка находится в центре координат. Рассмотрим одну четверть. Легко заметить, что лягушка может оказаться в любой точке прямоугольного треугольника с катетами на осях 10 и 10, кроме 9-ти. Таких точек 10*11/2-9=46. Во всех четвертях таких точек 46*4+1=185
    Ответ: 185

    ОтветитьУдалить
  17. Поправка к решению MagTux!

    Пусть лягушка находится в центре координат. Рассмотрим одну четверть. Легко заметить, что лягушка может оказаться в любой ЧЕТНОЙ точке прямоугольного треугольника с катетами на осях 10 и 10. Таких точек 3+5+7+9+11. Во всех четвертях таких точек (3+5+7+9+11)*4+1=141
    Ответ: 141
    Прилагается рисунок с геометрическим решением: http://s011.radikal.ru/i315/1010/15/df752d2e154a.jpg

    [URL=http://www.radikal.ru][IMG]http://s011.radikal.ru/i315/1010/15/df752d2e154a.jpg[/IMG][/URL]

    ОтветитьУдалить
  18. Этот комментарий был удален автором.

    ОтветитьУдалить
  19. Блин! прошу прощения! Поправка к моему решению!

    Пусть лягушка находится в центре координат. Рассмотрим одну четверть. Легко заметить, что лягушка может оказаться в любой ЧЕТНОЙ точке (с четной суммой координат) прямоугольного треугольника с катетами на осях 10 и 10.
    Таких точек:
    НА КООРДИНАТНЫХ ОСЯХ: (10/2)*4+1=21,
    НЕ НА КООРДИНАТНЫХ ОСЯХ: (1+3+5+7+9)*4=100.
    Окончательный ответ Назвы: 121.

    Плилагается геометрия решения:
    http://s014.radikal.ru/i329/1010/b5/5d9f3901e3d3.jpg

    ОтветитьУдалить
  20. Блин! прошу прощения! Поправка к моему решению!

    Пусть лягушка находится в центре координат. Рассмотрим одну четверть. Легко заметить, что лягушка может оказаться в любой ЧЕТНОЙ точке (с четной суммой координат) прямоугольного треугольника с катетами на осях 10 и 10.
    Таких точек:
    НА КООРДИНАТНЫХ ОСЯХ: (10/2)*4+1=21,
    НЕ НА КООРДИНАТНЫХ ОСЯХ: (1+3+5+7+9)*4=100.
    Окончательный ответ Назвы: 121.

    Плилагается геометрия решения:
    http://s014.radikal.ru/i329/1010/b5/5d9f3901e3d3.jpg

    ОтветитьУдалить
  21. Задача 5.
    Поскольку лягушка может прыгнуть в 4 разные стороны, а потом в 3, так как возращаясь на исходную мы не чего не добиваемся, то 4*3*3*3*3*3*3*3*3*3, то есть 10 прыжков, мы получаем, что есть таких 236196 точек.

    (mudrec)

    ОтветитьУдалить
  22. X комментирует...

    (10+1)^2=121
    26 октября 2010 г. 22:01

    Ответ у меня тот же, но мне не ясен здесь процесс решения....

    ОтветитьУдалить
  23. E-scince получает 5+10=15 баллов и контроль над областью
    Nazva получает 3 балл

    ОтветитьУдалить
  24. Область на ходу 6 заняла E-science. Возводятся укрепления

    Начался ход 8. Это значит, что мы можем просто занять область. Это мы, собственно, и делаем.

    ОтветитьУдалить
  25. Алексей Извалов писал:
    Область на ходу 6 заняла E-science. Возводятся укрепления.
    Однако http://math-zn.blogspot.com/2010/10/6.html
    и все это случилось на ходу 7.

    ОтветитьУдалить
  26. Да, это моя ошибка про ход 6, по комментариям: захват произошёл 28.10, это ход 7

    ОтветитьУдалить