Область на 13 ходу занял Евгений. Возводятся укрепления.
Игра завершена, но предлагаю в ходе AfterParty рассмотреть 3 задачи от Евгения:
Задача 8
В выпуклом многоугольнике все углы равны и последовательные стороны образуют неубывающую последовательность. Доказать, что многоугольник правильный.
Задача 9
На плоскости дана прямоугольная система координат. Доказать, что все координаты вершин правильного шестиугольника не могут быть целыми числами.
Задача 10
На прямой находятся паук и муха. Максимальная скорость паука вдвое больше максимальной скорости мухи, но он ничего не знает о местоположении мухи до тех пор, пока они не окажутся в одной точке. Сможет ли паук догнать муху?
К карте математического острова
Решённые задачи:
Задача 1. На сторонах BC и CD квадрата ABCD даны точки K и M соответствено так, что ВK=KC, CM=2DM. Найдите угол MAK
Задача 3 Некоторое 26-значное натуральное число abc...xyz умножили на 9 и получили инверсное ему число zyx...cba. Назовите это число.
Задача 4. На рисунке изображены три полуокружности радиуса 2. Точки A и B расположены в точности над центрами E и F двух нижних полуокружностей. Чему равна площадь закрашенной фигуры?
Задача 7
В центре О квадратного загона находится заяц, скорость которого 1. К загону по двум парам смежных сторон примыкает два соседних , в каждом из которых бегает по 1 собаке, скорости каждой корень из 2, и в начальный момент расположились наиболее выгодным для себя образом. Изгородь загонов проходима для зайца, но непроходима для собак. Сможет ли заяц вырваться за пределы загона? Укажите стратегию победителя
Задача 5
В центре квадратного загона находится заяц, скорость которого корень из 2. В соседних 4-х загонах бегают по 3 собаки, скорости каждой 1, и в начальный момент расположились наиболее выгодным для себя образом. Изгородь загонов проходима для зайца, но непроходима для собак. Сможет ли заяц вырваться за пределы загона? Укажите стратегию победителя
Задача 6
Каждый угол квадратного листа площади 1 загнули одинаковым образом, так, что получился новый квадрат площади s=0,72. Найти площадь «однослойной» части нового квадрата ( в виде дроби)
Задача 1 ошибка
ОтветитьУдалитьDK=KC - не может быть такого условия
Задача 2
ОтветитьУдалитьРассмотрим образовавшийся прямоугольный треугольник с катетами a и b.
Поскольку между линиями угол 30 град, а одна из линий проходит через диагональ маленького квадрата и т.о. образует 45 град с катетом b, то вторая линия образует с катетом b угол 30+45=75 град. Второй угол треугольника 90-75=15 град.
a/b=ctg(15)
Задача 1 (если предположить, что в условии имелось ввиду BK=KC)
ОтветитьУдалитьПоложим BK=KC=x, DM=y, CM=2y
tg(BAK)=BK/AB=x/2x=1/2
tg(DAM)=DM/AD=y/3y=1/3
По формуле тангенса суммы
tg(BAK+DAM)=(tg(BAK)+tg(DAM))/(1-tg(BAK)tg(DAM))= (1/2+1/3)/(1-1/2*1/3)=1
BAK+DAM=45 град
Следовательно MAK=90-45=45 градусов.
2) 2+sqrt(3)
ОтветитьУдалить1) Условие DK=KC не коректное. Такого не может быть, так катет не может быть равен гипотенузе (в прямоугольном треугольнике DCK)
ОтветитьУдалить1) Если предположить, что там стоит условие BK=KC, то
ОтветитьУдалитьугол MAK равен 45 градусов
Nazva получает 5+5+10+2 (бонус за исправление условия) = 22 балла
ОтветитьУдалитьzhekas получает 3+3+2=8 баллов
Область переходит к Nazv'e, которая должна в течение следующего хода укрепить её задачами
Укрепление квадратного пляжа
ОтветитьУдалить===Условие
Некоторое 26-значное натуральное число abc...xyz умножили на 9 и получили инверсное ему число zyx...cba.
Назовите это число.
===Решение
9*abc...xyz=zyx...cba
a=1 (иначе результат был бы 27-значным)
9*1bc...xyz=zyx...cb1
z=9 (_9*9=_1)
9*1bc...xy9=9yx...cb1
b может быть 0 или 1 (иначе был бы перенос)
b=1 -> 9*11c...xy9=9yx...c11
y=7 (_79*9=_11)
9*11c...x79=97x...c11
Такого быть не может, так как 9*11_>=99_
Следовательно b=0
9*10c...xy9=9yx...c01
y=8 (_89*9=_01)
9*10c...x89=98x...c01
с=9 (109_*9=98_)
9*109...x89=98x...901
x=9 (_989*9=_901)
Получили 9*10989=98901
9*109989=989901 и т.д.
26-значное число 10999999999999999999999989
10999999999999999999999989
ОтветитьУдалитьzhekas получает 10+5=15 баллов и контроль над областью
ОтветитьУдалитьНа рисунке изображены три полуокружности радиуса 2. Точки A и B расположены в точности над центрами E и F двух нижних полуокружностей. Чему равна площадь закрашенной фигуры.
ОтветитьУдалитьРисунок прилагается
http://s05.radikal.ru/i178/1010/30/5b59240302c5.png
Ответ: 8
складываем k-ое слагаемое из первой скобки с k-ым слагаемым из второй.В сумме получаем 2. Всего таких 2 получается 670. 2*670=1340
ОтветитьУдалитьМог перепутать задачи местами
Площадь всей фигуры(включая не закрашенные части) равна площади верхней полуокружности+ площади четверти левой окружности + площади четверти правой окружности + площади прямоугольника EABF.
ОтветитьУдалитьS=pi*r^2/2+pi*r^2/4*pi*r^2/4+2r*r=pi*r^2+2r^2=4pi+8
Чтобы получить площадь заштрихованной фигуры, надо из общей площади вычесть площади левой и правой полуокружносте, которые вмести дают целую окружности
S'=4pi+8-pi*2^2=8
Ответ:8
Мог перепутать задачи и решения
а может быть только 1 (если больше, то при умножении на 9 оно увеличит размерность числа а 0 первый разряд быть не может). При этом при умножении на 9 может давать 9 на конце. Тоесть z=9
ОтветитьУдалитьb может быть либо 0 либо 1, чтобы не добавлять едениц для последнего разряда при умножении на 9.
9y+8 mod 10=b mod 10 откуда y либо 8 либо 7
b=0 y=8 ну а дальше пошли девятки
Задача 4. Перекладывая четверти окружности, получаем прямоугольник ABFE площадью 2*4=8
ОтветитьУдалитьЗадача 4
ОтветитьУдалитьПусть О - середина EF.
Хорда AO лежит против угла 90 градусов =пи/2 радиан. Площадь сегмента равна
Sсег=1/2*R^2(пи/2-sin(пи/2))=пи-1
Искомая площадь равна площади круга без 4-х таких сегментов.
S=пи*R^2-4(пи-1)=4пи-4пи+4=4
Ответ: 4
Я не помню, что я отправлял. Поэтому в подкрепление своего ответа отправлю повторно.
ОтветитьУдалитьЗадача 4 (квадратный пляж)
Пусть О - середина EF.
Хорда AO лежит против угла 90 градусов =пи/2 радиан. Площадь сегмента равна
Sсег=1/2*R^2(пи/2-sin(пи/2))=пи-2
Искомая площадь равна площади круга без 4-х таких сегментов.
S=пи*R^2-4(пи-2)=4пи-4пи+8=8
Ответ: 8
E-science получает 15 баллов и область
ОтветитьУдалитьNazva получает 3 балла
Задача 5.
ОтветитьУдалитьПодползаем к одной из сторон квадрата. Дожидаемся, когда все три собаки за изгородью подбегут к нам поближе. Затем - бежим вдоль этой стороны, обгоняя собак (V2>1), пока не приобретем достаточно форы, чтобы вырваться.
Крепость устояла, E-science получает +1 балл за сохранение области.
ОтветитьУдалитьЗадача 5
ОтветитьУдалитьБыло указание в условии не допускать многозначности.
1) Заяц может вырваться за пределы загона в любом случае и для этого ему нужно просто выбежать из загона (к собакам). Что с ним произойдёт за пределами никого не интересует.
2) На каком расстоянии от собаки может пробежать заяц? 0.1? 1? 10? 100? Допустим заяц сидит возле изгороди, напротив его за изгородью собака. Заяц начинает бежать вдоль изгороди и через как угодно малый промежуток времени он будет опережать собаку на определённое расстояние. Пусть там вторая собака, тогда через как угодно малый промежуток времени он будет опережать обеих собак на определённое расстояние, если там третяя, то далее. А далее никого. Как далеко зайцу нужно убежать от собак, чтобы сманеврировать за пределы загона? Через единицу времени заяц пробежит на 0,4 единиц расстояния дальше. Хватит его для манёвра?
3) Какой длинны изгородь загона? Если длина изгороди равна трём собакам, то собакам достаточно прилечь и раскрыть пасти для приёма зайца.
To MagTux:По традициям математических игр, участники "догонялок" принимаются за материальные точки, если не оговорено иное.Поимкой называется полное совпадение точек Убегающего и Догоняющего, достигаемое Догоняющим за конечное время.Вопрос задачи точно: Сможет ли заяц вырваться за пределы загона и не быть пойманным? Но Ваш пункт 2 показывает, что Вы его так и поняли, да и Armless тоже. Такой конкретности (куда на сколько переместиться, оттуда на что посмотреть), как Вы писали сегодня про утку и лису, уверен, хватило бы для зачета решения.
ОтветитьУдалитьЕще про точность формулировок. В задаче 7, в отличие от задачи 5, для зайца вырваться за пределы загона еще не значит уцелеть, у него скорость меньше.Считаем, очевидно, что заяц победил, если достиг изгороди в точке, где нет собаки.Например,за пределами своего загона имеет скорость 2(лучше почва).
ОтветитьУдалитьОсада продолжается.
ОтветитьУдалитьE-Science +1 балл за сохранение области
Задача 7.
ОтветитьУдалитьЛемма:
в прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой выполняется нер-во a+b≤c√2.
Доказательство.
Пусть φ - острый угол данного треугольника, прилежащий к катету a. Тогда a=c*cosφ, b=c*sinφ.
Пусть h=a+b. Тогда h(φ)=a+b=c(cosφ+sinφ). Найдем максимум этой функции:
h'(φ)=c(cosφ-sinφ); h'(φ)=0; c(cosφ-sinφ)=0; cosφ=sinφ; φ=pi/4.
Тогда h_max=h(pi/4)=c(cos(pi/4)+sin(pi/4))=c√2. Отсюда h≤h_max=c√2, т.е. a+b≤c√2.
Лемма доказана.
Обозначим через l_(MN) длину пути, который собаке предстоит пройти из точки M до точки N, двигаясь по периметру квадрата. Пусть также t_(MN) - время, необходимое зайцу для преодоления отрезка MN:
t_(MN)=MN/1=MN;
а T_(MN) - время, требуемое собаке для преодоления пути l_(MN):
T_(MN)=l_(MN)/√2.
Пусть при движении зайца собака держится от вершины D квадрата ABDE (одной из тех двух вершин, которые граничат с загонами обеих собак) на таком расстоянии l_(CD), что T_(CD)=t_(ZD), где С - местоположение собаки, Z - местоположение зайца.
Пусть теперь заяц намерен прибежать в точку K на стороне квадрата, расположенную в зоне дасягаемости выбранной собаки (при этом подразумевается, что точка K лежит на стороне AB, в то время как C может лежать на любой из двух смежных сторон AB и BD; граница загонов собак лежит на прямой, содержащей диагональ AD). Точки Z,D и K образуют треугольник, значит, согласно нер-ву треугольника, KD≤KZ+ZD, откуда
t_(KD)≤t_(KZ)+t(ZD) (1)
(равенство достигается, когда точки расположены на одной прямой)
В свою очередь, треугольник KBD прямоугольный, значит, согласно доказанной лемме,
BK+BD≤KD√2 (2)
По определению BK=l_(BK)=T_(BK)*√2, BD=T_(BD)*√2 и KD=t_(KD). Тогда нер-во (2) примет вид
T_(BK)*√2+T_(BD)*√2≤t_(KD)*√2, откуда
T_(BK)+T_(BD)≤t_(KD).
В свою очередь,
В свою очередь, поскольку BK+BD=l_(KC)+l_(CD), то и T_(BK)+T_(BD)=T_(KC)+T_(CD), значит
T_(KC)+T_(CD)≤t_(KD)≤t_(KZ)+t(ZD).
Но T_(CD)=t_(ZD) по определению точки С, значит
T_(KC)+T_(CD)≤t_(KZ)+t(ZD)=t_(KZ)+T_(CD);
T_(KC)+T_(CD)≤t_(KZ)+T_(CD);
T_(KC)≤t_(KZ).
Последнее нер-во говорит о том, что если X - вершина квадрата, расположенная на границе загонов собак, и если собака находится в точке Y (собака должна постоянно держаться этой точки) такой, что T_(YX)=t_(ZX), где Z - местоположение зайца, то в какую бы точку K заяц не направился, одна из собак успеет его перехватить.
Поскольку в начальный момент собаки расположены нужным образом (наилучшим по условию), то заяц никогда не выберется из загона.
Замечание:
в решении использовалось, что заяц от точки к точке двигается по прямой; если бы заяц двигался по какой-либо другой траектории, то на путь он затратил бы больше времени, поэтому ломаная или прямая были выбраны как наиболее благоприятная траектория для зайца.
Задача 5.
ОтветитьУдалитьРассмотрим сторону BD квадрата ABDE, в котором находится заяц.
Пусть заяц занимает такое положение Z, что его проекция на сторону BD совпадает с точкой С_1, в которой находится первая собака; вторая и третья собаки С_2 и С_3 находятся соответственно на отрезках DC_1 и DC_2. Это наиболее благоприятное положение для собак.
Оценим длины отрезков BC_1, C_1C_2 и С_2С_3, при которых заяц не сможет найти в них лазейку и вырваться из загона.
Пусть расстояние от зайца до стороны BD равно δ, т.е. ZC_1=δ. Для того, чтобы заяц не выбрался в точке B, необходимо условие BC_1/1≤ZB/√2, или (BC_1)^2≤(ZB^2)/2, 2*(BC_1)^2≤ZB^2.
Из треуголиника BZC_1 следует, что ZB^2=(BC_1)^2+(ZC_1)^2=(BC_1)^2+δ^2. Тогда 2*(BC_1)^2≤(BC_1)^2+δ^2, откуда ВС_1≤δ.
На отрезке С_1С_2 взьмем точку M такую, что MC_1=MC_2. Чтобы заяц не вырвался в точке M, необходимо (MC_1)/1≤ZM/√2; (MC_1)^2≤(ZM^2)/√2=((MC_1)^2+δ^2)/2, откуда MC_1≤δ. Тогда и MC_2=MC_1≤δ и С_1С_2≤2δ.
Середину отрезка С_2С_3 обазначим буквой K. Следует условие: (KC_2)/1≤ZK/√2; (KC_2)^2≤(ZK^2)/2=((KC_1)^2+δ^2)/2. Но KC_1=C_1C_2+KC_2≤2δ+KC_2. Тогда
(KC_2)^2≤((KC_1)^2+δ^2)/2≤((KC_2+2δ)^2+δ^2)/2=((KC_2)^2+4δ*KC_2+5δ^2)/2. Отсюда
(KC_2)^2-4δ*KC_2-5δ^2≤0.
Решим это нер-во относительно KC_2:
D=16δ^2+20δ^2=(6δ)^2.
(KC_2)_1=(4δ-6δ)/2=-δ; (KC_2)_2=(4δ+6δ)/2=5δ;
-δ≤KC_2≤5δ, или, учитывая, что KC_2>0, можно просто записать KC_2≤5δ. Тогда KC_3=KC_2≤5δ и С_2С_3≤10δ.
Таким образом, ВС_1≤δ, С_1С_2≤2δ, С_2С_3≤10δ.
Обозначим длину стороны квадрата через m. Тогда DC_3=BD-BC_1-C_1C_2-C_2C_3≥m-δ-2δ-10δ=m-13δ, т.е. DC_3≥m-13δ. При этом, если положить BC_1=δ (как наиболее благоприятная позиция для собак), то DC_1=m-δ и ZD^2=(ZC_1)^2+(DC_1)^2=δ^2+(m-δ)^2=m^2-2δm+2δ^2.
Задача 5(продолжение).
ОтветитьУдалитьС остальным решением проблема - при просмотре вырезается солидный кусок текста. Вот что получается:
Найдем, при каком δ ZD0), значит заяц может всегда выбраться из загона.
Да и в первом комментарии к задаче 5 тоже было вырезано много текста. Как это можно устранить?
ОтветитьУдалить{просьба не печатать эти комментарии}
Евгений, подробите, пожалуйста, комментарии, если сомневаетесь в отправке.
ОтветитьУдалитьЗадача 7 решена
ОтветитьУдалитьПо задаче 5 подход интересный, но конфигурация оптимлаьного расположения собак неочевидна.
Евгений получает +5 баллов за решение задачи
E-science получает +1 балл за удержание контроля над областью.
Этот комментарий был удален автором.
ОтветитьУдалитьУ меня на 5-ю задачу уже давно решение лежит, только не было возможности отправить.
ОтветитьУдалитьЕсли опустить все подробности, то получается вот такая схема
http://img225.imageshack.us/img225/8458/80488997.jpg
Для собаки С зелёные зоны - можно стоять на месте на углу С, жёлтые зоны - нужно защищать путь зайца к границе загона, т.е. нужно быть в sqrt(2) раз дальше от вероятной точки побега зайца, чем сам заяц, синие зоны - нужно защищать путь зайца в угол загона, т.е. нужно быть в sqrt(2) раз дальше от угла загона, чем заяц. При такой защите границ загона зайцу не выбраться.
При решении задачи 5 использовалось, что наилучшим положением собак на стороне BD (при условии BZ_1=ZZ_1=δ, где Z_1 - проекция местонахождения зайца Z на сторону BD; заяц всегда может занять такую точку Z) является положение, при котором BC_1=δ, C_1C_2=2δ, C_2C_3=10δ. Докажем это.
ОтветитьУдалитьКритерием выгодности положения собак будем считать длину отрезка DC_3, где С_3 - местоположение самой ближней к точке D собаки. Чем этот отрезок больше, тем положение собак хуже.
Пусть ближайшая к точке В собака находится в точке С_1. Для нее должно выполняться нер-во (BC_1)/1≤BZ/√2; (BC_1)^2≤(BZ^2)/2=((BZ_1)^2+(ZZ_1)^2)/2=δ^2. Отсюда BC_1≤δ.
По аналогии с доказательством нер-ва С_1С_2≤2δ (когда использавалось, что C_1 лежит в точке Z_1) доказывается, что Z_1C_2≤2δ. При этом нер-во С_2С_3≤10δ сохраняется. Тогда DC_3=BD-BZ_1-Z_1C_2-C_2C_3=m-δ-Z_1C_2-C_2C_3≥m-δ-2δ-10δ=m-13δ, т.е. DC_3≥m-13δ (здесь использовалось, что точки С_2 и С_3 лежат на отрезке Z_1D_1, выгодность чего для собак очевидна). Согласно критерию выгодности положения собак, наилучшая для них ситуация достигается когда DC_3=m-13δ, что возможно только при Z_1С_2=2δ и C_2C_3=10δ.
Отметим середику отрезка Z_1C_2 точкой K: KZ_1=KC_2=(Z_1C_2)/2=δ. Тогда BK=BZ_1+KZ_1=2δ. Поскольку BC_1≤δ, то KC_1=BK-BC_1=2δ-BC_1≥2δ-δ=δ, т.е. КС_1≥δ.
Отрезок KC_2 полностью контролируется собакой С_2. Для того же, чтобы на отрезке KC_2 не было точки, через которую заяц смог бы выбраться из загона, необходимо условие (КС_1)/1≤ZK/√2; (KC_1)≤(ZK^2)/2=(2δ^2)/2=δ^2, откуда KC_1≤δ.
Решив систему из нер-ств KC_1≥δ и KC_1≤δ получим KC_1=δ.
Таким образом, BC_1=BK-KC_1=2δ-δ=δ, C_1C_2=Z_1C_2=3δ-δ=2δ, C_2C_3=10δ, что и требовалось доказать.
В шестой задаче получилась дробь 3919/8575. Правильно получилась, или все-таки стоит еще поискать ошибки?
ОтветитьУдалитьЗадача 5(продолжение основного решения от 7 ноября 2010г. 17:25)
ОтветитьУдалитьНайдем, при каком δ ZD0), значит заяц может всегда выбраться из загона.
Евгений получает 5 баллов за решение задачи 5. Задача 6 устояла.
ОтветитьУдалитьА как насчет 289/625?
ОтветитьУдалитьМожно сейчас написать только ответ, а решение потом прислать? Времени совсем нет.
ОтветитьУдалитьОтвет: 59049/122500
Евгений, хотя понятно, что такой результат получается при правильном решении, всё же опишите, пожалуйста, основные его шаги.
ОтветитьУдалитьОпишу последовательнасть действий:
ОтветитьУдалить1)Полагается, что угол D загнут по прямой AE, угол С - по DF, угол B - по CK, причем DE=CF=BK=m.
2)N=AE∩DF, P=DF∩CK.
3)Находятся отрезки AE=DF (здесь и далее под словом "находится" подразумевается "выражается через m")
4)Находятся отношения AN/NE и DN/NF (например векторным способом), на основании чего находятся отрезки AN,NE,DN.
5)Устанавливается, что AE┴DF.
6)Загинаются углы D и С, т.е. строятся треугольники AED_1 и DFC_1, симметричные треугольникам AED и DFC относительно прямых AE и DF соответственно.
7)Устанавливается, что D_1 лежит на DF, а С_1 - на CK.
7)Q=AD_1∩DC_1, T=AE∩DC_1.
8)Устанавливается перпендикулярность AD_1 и DC_1.
9)Устанавливается р-во NT=NE, с учетом чего находится AT=AE-NT-NE.
10)Находится площадь треугольника ADE.
11)Устанавливается подобие треугольников AND и ADE с коэффициентом подобия, равным AT. Через отношение площадей этих треугольников находится площадь AND.
12)∆AND_1=∆AND.
13)Устанавливается подобие треугольников AQT и AND_1, откуда находится площадь ∆AQT.
14)Находится площадь четырехугольника QTND_1 как разность площадей соответствующих треугольников.
15)Находится площадь ∆DNE.
16)B_1 - симметрия В относительно CK. T_1=DF∩CB_1, Q_1=DC_1∩CB_1.
19)Находится площадь четырехугольника TNT_1Q_1 как разность S_(TNT_1Q_1)=S_(DPC_1)-S_(Q_1N_1PC_1)-S_(DNT)=S_(AND)-S(QTND_1)-S_(DNE).
20)Находится параметр m:
- находится NP;
- m - тот корень ур-ния NP^2=0.72, который меньше 1 (поскольку E лежит на CD, то m=DE<CD=1).
21)Вычисляется с учетом значения m площадь многослойной части нового квадрата, равная 4S_(TNT_1Q_1).
22)Площадь однослойной части вычисляется как разность 0.72 - 4S_(TNT_1Q_1).
Спасибо :)
ОтветитьУдалитьНу и от 1 до 3 задач от вас нужно сегодня, чтобы укрепить провинцию.
Карту перекрасили, задач нет. Можно мы возьмем область?
ОтветитьУдалитьВ ходе AfterParty от E-Science получены решения задач (цитирую из Личного Сообщения):
ОтветитьУдалить===================================
Задача 8
В выпуклом многоугольнике все углы равны и последовательные стороны образуют неубывающую последовательность. Доказать, что многоугольник правильный.
===================================
Решение.
Построим на каждой стороне правильный n- угольник, естественно, с той же стороны, что и данный, и докажем, что построенные друг в друга вложены. Соседние,построенные на k-й и (k+1)-й сторонах, гомотетичны с центром в общей вершине этих сторон, с коэффициентом, равном их отношению.Каково пересечение их границ. Назовем вершину синей, если в ней сходятся равные стороны исходного n-угольника, и красной, если неравные. Докажем, что все вершины синие. Исходный многоугольник не может иметь одну красную вершину, тогда по транзитивности они все синие. Вершина между n-й и 1й сторонами по предположению красная. Пусть другая красная вершина между k-й и (k+1)-й сторонами. Общий участок границы двух соседних, построенных на k-й и (k+1)-й сторонах, не может содержать другой красной вершины, значит, не содержит 1-ю, значит, 1-я вершина строго снаружи (k+1)-го построенного многоугольника, а значит и всех следуюших вплоть до n-го. Противоречие,т.к.она конец стороны, на которой n- й многоугольник и строился.
===================================
===================================
Задача 9
На плоскости дана прямоугольная система координат. Доказать, что все координаты вершин правильного шестиугольника не могут быть целыми числами.
===================================
Решение.
Покажем, что три последовательных вершины правильного шестиугольника не могут иметь в качестве координат целые числа. Эти вершины образуют равнобедренный треугольник с углом 120 градусов.
Пусть вершина острого угла в начале прямоугольной системы координат, (х,у) - вершина тупого угла и (z,t) вершина второго острого. Тогда получаем $3(x^2+y^2)=z^2+t^2$, откуда следует, что и z,и t делятся на 3. Тогда х и у делятся на 3 и так можно выделять очередной множитель три в каждой координате бесконечно, противоречие.
===================================
===================================
Задача 10
На прямой находятся паук и муха. Максимальная скорость паука вдвое больше максимальной скорости мухи, но он ничего не знает о местоположении мухи до тех пор, пока они не окажутся в одной точке. Сможет ли паук догнать муху?
===================================
Решение.
Можно поместить паука в точку 0, его перемещения
a_0=2
a_k=(-1)^k(|a_{k-1}|+8*3^{k-1})
Точки поворота будут 2, -8, 26, -80, ...
Муха, понятно, уходит от паука, иначе просто.
Идем 2 вправо, 10 влево, 34 вправо, 106 влево ... или с шагом 2+8*3^k
Тогда, если муха на расстоянии до 1-ого вправо, то поймает при 1-ом движении (вправо). Если на расстоянии до 2-х слева, то на 2-ом движении (первое влево), если от 1-ого до 3-х справа, то на 3-ем, если от 2-х до 4-х слева, то на 4-ом и т.д.
Таким образом, паук ловит муху всегда, причем, если она на расстоянии r от него, то не позже rперемещения, где k-натуральное, k>|r|.
===================================
Другое решение, графически, более наглядно: на графике движения(абсцисса t , ордината х) проведем прямые х=1+1,5t и x=-1,5t .Тогда график мухи внутри х=$a\pm{t}$ начиная с некоторого места Т будет между этими прямыми, а график паука с угловым коэффициентом 2 пусть имеет повороты на этих прямых, и значит, не позже момента 2+7t, где t>T момент следующего поворота, пересечет график мухи
===================================
===================================
Что-то решили уже давно, что-то не так давно, но отсутствие соревновательной изюминки расслабляет, пытались сформулировать почетче и т.д. :)
Но задачки хорошие, понравились. Спасибо.
Что ж, задачи решены, хотя, признаюсь, в решении восьмой задачи для меня и остается несколько неясных положений. Но с решением 9 задачи полностью согласен; добавлю только, что свойством делимости на 3^n при каком угодно n обладает единственное число 0 (но в этом, думаю, и заключалось противоречие).
ОтветитьУдалитьЧто же касается задачи 10, то я нахожу очень интересным графический способ (наверное, из-за его наглядности), хоть первое решение и содержит, по моему мнению, недочет - нет строгого неравенства.